Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Fr 30.03.2007 | | Autor: | moeff |
| Aufgabe | | Folgende Reihe soll auf Konvergenz überprüfung werden: $ [mm] \sum^\infty_{k=1} [/mm] ( [mm] \wurzel[k]{k} [/mm] - 1 ) $ |
Quotientenkriterium funktioniert nicht und beim Wurzelkriterium fällt mir keine Umformung ein. Da die k-te Wurzel von k für k gegen Unendlich ja eins ist, vermute ich stark, dass die Reihe konvergiert, aber ich kann es nicht zeigen. Wäre sehr dankbar für Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Fr 30.03.2007 | | Autor: | Kay_S |
Hi,
Ich glaube nicht, daß das konvergiert. Die Wurzel geht zwar gegen 1, aber äußerst langsam.
Ich würde den Verdichtungssatz probieren. Wenn das nicht hilft, vielleicht das Integralkriterium.
Kay S.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Fr 30.03.2007 | | Autor: | Kay_S |
Eine Minorante ist die Reihe [mm] $\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{\ln(k)}{k}$.
[/mm]
Integralkriterium liefert [mm] $\integral{\bruch{\ln(k)}{k} \, dk = \bruch{1}{2}\ln(k)^2 \to \infty}$ [/mm] und damit Divergenz.
Kay S.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Sa 31.03.2007 | | Autor: | nsche |
Wahrscheinlich ist es (wie immer) offensichtlich aber ich sehe es (wie immer) trotzdem nicht:
warum ist :
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{ln(k)}{k} [/mm]
eine Minorante.
rätselnd
Norbert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Sa 31.03.2007 | | Autor: | Kay_S |
Ok, vielleicht ist es nicht ganz so offensichtlich:
[mm] $\wurzel[k]{k} [/mm] - 1 = [mm] e^{\ln(k)/k} [/mm] - 1 [mm] \ge [/mm] 1 + [mm] \bruch{\ln(k)}{k} [/mm] - 1 = [mm] \bruch{\ln(k)}{k}$
[/mm]
Das gilt wegen [mm] $e^x \ge [/mm] 1 + x$, aber das hat sich ja jetzt erledigt.
Kay
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Sa 31.03.2007 | | Autor: | nsche |
Danke, jetzt ist mir wohler 
vG
Norbert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Fr 30.03.2007 | | Autor: | nsche |
ich vermute [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n} [/mm] ist eine divergente Minorante:
[mm]\wurzel[n]{n} -1 > \bruch{1}{n} [/mm]
[mm]\wurzel[n]{n} > \bruch{1}{n} +1[/mm]
[mm] n > (1+ \bruch{1}{n})^{n}[/mm]
[mm] n > e [/mm] für ausreichend große n
bin mir allerdings nicht sicher, ob das alles so legal ist.
vG
Norbert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:08 Sa 31.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Norbert!
Bei Deiner Umformung kann ich keinen Fehler entdecken. Allerdings stimmt die letzte Abschätzung mit $... \ [mm] \red{>} [/mm] \ e$ nicht, da sich [mm] $\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n$ [/mm] dem Wert $e_$ von unten annähert.
Aber es reicht ja als Abschätzung völlig aus zu sagen: [mm] $\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] \ > \ 0$ .
Damit ist die Ungleichung [mm] $\wurzel[n]{n}-1 [/mm] \ > \ [mm] \bruch{1}{n}$ [/mm] auch bewiesen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:41 Sa 31.03.2007 | | Autor: | moeff |
Ok, vielen Dank euch allen! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 Sa 31.03.2007 | | Autor: | nsche |
Danke für die Zusatzinfo
vG
Norbert
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