Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Phecda |
hallo .. ich hab eine aufgabe, die ich eigentlich gelöst habe, aber ich nicht genau weiß, ob der lösungsweg mathematik korrekt und erlaubt ist.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} q^n/(1+q^n) [/mm] ist meine unendliche Reihe. Man soll nun bestimmen für welche q die Reihe konvergiert bzw. divergiert!
Mit dem Quotientenkriterium erhalte ich: q [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+q^n)/(1+q^{n+1}). [/mm] Bei der folgenden Überlegung habe ich die eins im Nenner und Zähler einfach wegfallen lassen, da sie doch eigentlich keine Rolle beim Grenzwertverlauf hat. Ich weiß jetzt nicht genau ob q * [mm] q^n/q^{n+1}= [/mm] q/q = 1 übrig bleibt, und somit die reihe stets für alle q gegen eins konvergiert?
danke für die hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:47 Fr 10.03.2006 | | Autor: | felixf |
> hallo .. ich hab eine aufgabe, die ich eigentlich gelöst
> habe, aber ich nicht genau weiß, ob der lösungsweg
> mathematik korrekt und erlaubt ist.
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} q^n/(1+q^n)[/mm] ist meine unendliche
> Reihe. Man soll nun bestimmen für welche q die Reihe
> konvergiert bzw. divergiert!
> Mit dem Quotientenkriterium erhalte ich: q
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+q^n)/(1+q^{n+1}).[/mm] Bei der
> folgenden Überlegung habe ich die eins im Nenner und Zähler
> einfach wegfallen lassen, da sie doch eigentlich keine
> Rolle beim Grenzwertverlauf hat.
Nur wenn $q$ gross ist, oder genauer: wenn $|q| > 1$ ist. Aber das ist hier grad nicht der interessante Fall, siehe unten...
> Ich weiß jetzt nicht genau
> ob q * [mm]q^n/q^{n+1}=[/mm] q/q = 1 übrig bleibt, und somit die
> reihe stets für alle q gegen eins konvergiert?
Selbst wenn das Argument gerade so gestimmt haette: Das wuerde dir jetzt nur sagen, dass das Quotientenkritierium dir hier nicht helfen kann (kleine Erinnerung: Grenzwert $ < 1$ heisst Reihe konvergiert, Grenzwert $ > 1$ heisst Reihe divergiert, und Grenzwert $ = 1$ heisst man weiss erstmal nix).
Und insbesondere heisst das nicht, das die Reihe gegen $1$ konvergiert.
Erstmal: Wenn du [mm] $\frac{q^n}{q^n + 1} [/mm] = [mm] \frac{1 + q^n - 1}{q^n + 1} [/mm] = 1 - [mm] \frac{1}{q^n + 1}$ [/mm] schreibst, siehst du dass [mm] $\frac{1}{q^n + 1}$ [/mm] gegen $1$ konvergieren muss, damit [mm] $\frac{q^n}{q^n + 1}$ [/mm] gegen $0$ konvergiert -- und wenn die Summanden keine Nullfolge bilden, konvergiert die Reihe erst recht nicht (weisst du warum?).
Das konvergiert allerdings nur gegen $1$, wenn [mm] $q^n$ [/mm] gegen $0$ geht, was genau fuer $|q| < 1$ erfuellt ist. Die Reihe hat also nur dann eine Chance zu kovnergieren, wenn $|q| < 1$ ist (dann muss sie es aber erstmal trotzdem nicht, das muss man noch weiter nachpruefen).
Ist nun $|q| < 1$, so kannst du [mm] $\frac{q^n}{q^n + 1} [/mm] = [mm] \frac{1}{1 + q^{-n}}$ [/mm] betrachten, bzw. den Betrag davon. Fuer grosse $n$ kann man den Betrag durch [mm] $\frac{1}{|q|^{-n}} [/mm] = [mm] |q|^n$ [/mm] nach oben abschaetzen. Und jetzt kannst du mit Hilfe des Majorantenkriteriums zeigen, dass die Reihe fuer jedes $|q| < 1$ konvergiert (weisst du wie?).
Damit konvergiert die Reihe genau dann, wenn $|q| < 1$ ist.
LG Felix
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