Konvergenz einer Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 So 30.10.2005 | | Autor: | TobiasBe |
Ich habe diese Aufgabe noch auf keinem anderen Forum gestellt.
Hallo alle zusammen!
Ich habe Probleme die Konvergenz einer Reihe zu finden, die sehr der geometrischen Reihe ähnelt, allerdings nur jedes zweite Element dieser enthält.
Das heißt, ich versuche folgende Aufgabe zu lösen:
[mm] \bruch{1}{6} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{ \infty} (\bruch{5}{6})^{2i+1}
[/mm]
Ich hatte mir überlegt die Summe noch weiter an eine geometrische Reihe anzupassen, indem ich einmal [mm] \bruch{5}{6} [/mm] ausklammere und +1-1 anfüge, um den Index = 0 zu setzen und erhalte somit:
[mm] \bruch{1}{6} [/mm] + [mm] \bruch{5}{36} [/mm] * ( -1 + [mm] \summe_{i=0}^{ \infty} (\bruch{5}{6})^{2i} [/mm] )
Immernoch keine geometrische Reihe. Wie kann ich also die Konvergenz der Reihe bestimmen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 So 30.10.2005 | | Autor: | choosy |
Hallo erstmal,
dein Ansatz ist schon ok, wir müssen nur noch anmerken, das
[mm] $0<\frac{5}{6}<1$,
[/mm]
und insbesondere
[mm] $\left(\frac{5}{6}\right)^{2i}<\left(\frac{5}{6}\right)^i$
[/mm]
du bekommst also als Majorante für deine Reihe
[mm] $\summe_{i=1}^{ \infty} \left(\bruch{5}{6}\right)^{i}$
[/mm]
nach dem Majorantenkriterium ist deine Reihe also sogar absolut konvergent und damit konvergent
versuchs mal sauber aufzuschreiben...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 So 30.10.2005 | | Autor: | TobiasBe |
Tut mir Leid, ich hätte meine Frage besser formulieren sollen, hee!
Das die Reihe konvergiert war mir bereits klar, was ich nicht geschafft hatte war den Wert zu finden gegen den sie konvergiert.
Wäre es eine geometrische Reihe würde ja gelten:
[mm] \summe_{i=0}^{ \infty}( \bruch{5}{6})^{i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{ 1 - \bruch{5}{6}}
[/mm]
Da ich hier aber nur jedes zweite Element betrachte, weiss ich nicht, wie ich den Unterschied ausgleichen kann.
Ich könnte die geometrische Summe nehmen und jedes ungerade Element abziehen, aber dann hätte ich wieder eine Summe mit der ich nicht arbeiten kann.
Wie berechne ich den Wert, gegen den die Reihe konvergiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 So 30.10.2005 | | Autor: | choosy |
Ach so, na macht nix, ich hatte grad mal die idee deine Reihe so zu schreiben:
[mm] $\summe_{i=0}^{ \infty}((\bruch{5}{6})^{2i}= \summe_{i=0}^{ \infty}(( \bruch{5}{6})^{2})^i [/mm] = [mm] \bruch{1}{ 1 -( \bruch{5}{6})^2}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 So 30.10.2005 | | Autor: | TobiasBe |
Woah!
Klasse Idee!
So simpel, doch wäre ich da nie drauf gekommen.
Vielen Dank, jetzt kann ich endlich guten Gewissens diese Aufgabe beenden. :)
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