Konvergenz einer Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:29 Mi 18.06.2008 | | Autor: | svcds |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Potenzreihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^k}{3^k+2^k} [/mm] konvergent ist für alle [mm] x\in \IR [/mm] mit |x| < 3 |
Hallo,
und zwar habe ich diese Aufgabe bekommen und komme irgendwie nicht weiter.
Ich habe hierfür gezeigt, dass x=4 keinen Grenzwert hat, dann für x=3 gibts den Grenzwert 1 durch Rechnen.
Aber wie muss ich nun argumentieren, dass für x<3 also [mm] x\le2 [/mm] (Grenzwert ist da 0) die Folge konvergent sein soll?
Wie muss ich da eine Konvergenz zeigen?! Was muss ich dafür tun?
Mit lieben Grüßen
svcds
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Hallo Knut,
wie berechnet ihr denn üblicherweise den Konvergenzradius R einer Potenzreihe [mm] $\sum\limits_n a_n\cdot{}x^n$ [/mm] ?
Doch mit Cauchy-Hadamard ...
Berechne also [mm] $R=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{1}{3^n+2^n}\right|}}$
[/mm]
Dann ergibt sich die Beh. im Handumdrehen, denn nach Cauchy-Hadamard konvergiert die Potenzreihe für $|x|<R$ (und divergiert für $|x|>R$)
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:47 Mi 18.06.2008 | | Autor: | svcds |
hi danke aber das hab ich nie gehört :( was du da sagst
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Hallo nochmal,
aber das Wurzelkriterium für "normale" Reihen kennst du?
Fasse dazu deine Potenzreihe als "normale" Reihe [mm] $\sum\limits_{n} a_n$ [/mm] auf mit [mm] $a_n=\frac{x^n}{3^n+2^n}$
[/mm]
Dann berechne [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}=\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{x^n}{3^n+2^n}\right|}$
[/mm]
Wenn dieser [mm] $\limsup$ [/mm] <1 ist, so konvergiert die Reihe ...
Das andere Kriterium von Cauchy-Hadamard ist nur ne Erweiterung des WK für Potenzreihen ...
Alternativ kannst du auch das Quotientenkriterium verwenden
Berechne dazu [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{x^{n+1}\cdot{}(3^{n}+2^{n})}{x^n\cdot{}(3^{n+1}+2^{n+1})}\right|$
[/mm]
Aber mit dem WK ist es ein Zweizeiler 
LG
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:40 Mi 18.06.2008 | | Autor: | svcds |
hi hab ich nie gesehen und auch nicht in dem vorlesungsskript... na ja ich habe es jetzt versucht und abgegeben. danke dir nochmal! gucken was in der übungsstunde rauskommt.
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Hallo nochmal,
das ist ja kaum vorstellbar
Wieso bekommt ihr dann solche Aufgaben?
Es wäre mal interessant zu erfahren, was ihr beim Thema Reihen besprochen habt?
Keine Konvergenzkriterien?
Wie dem auch sei ...
Viele Grüße
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:50 Mi 18.06.2008 | | Autor: | svcds |
geht das nicht irgendwie anders? also verständlicher?
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