Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 Di 04.10.2011 | | Autor: | tanye |
| Aufgabe | | Die reelle Zahlenfolge [mm] (a_{n})_{n\varepsilon\IN} [/mm] sei gegeben durch [mm] :a_{n}:=\bruch{1}{n}+...+\bruch{1}{2n}=\summe_{i=n}^{2n}\bruch{1}{i}. [/mm] Zeigen Sie dass die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] konvergiert.Der Grenzwert muss nicht bestimmt werden. |
Hey Zusammen ,
Also das erinnert mich etwas an die harmonische Reihe , aber ich hab keine Ahnung wie ich die Konvergenz jetzt zeige.
Kann bitte jmd helfen ?
Grüße und vielen Dank - Tanye
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Weißt du, wie die harmonische Reihe für n gegen unendlich aussieht?
Ich hab vor ein paar Tagen die selbe Frage gestellt, kannst ja mal gucken, ob dir in dem Tread hier was hilft:
https://matheraum.de/read?i=817800
Antworten sind einmal hier:
https://matheraum.de/read?i=817818 - dafür musst du wissen was eine Untersumme ist.
und hier:
https://matheraum.de/read?i=817803 - dafür musst du wissen, welchen Wert die harmonische Reihe annimmt (Eulersche Konstante).
Wenn du die Antworten beide nicht gebrauchen kannst sag Bescheid und sag am besten auch was du schon über Reihen weißt und was du benutzen darfst, dann finden wir sicher auch einen anderen Weg das zu beweisen. ;)
MfG
Schadowmaster
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Di 04.10.2011 | | Autor: | tanye |
Hmm danke für deine Antwort :) Also ich hab Probleme mit der harmonischen Reihe ... Bis jetzt hab ich Konvergenz immer mit dem Quotientenkriterium , dem Wurzelkriterium oder mit Leibniz gezeigt ... Wenn ich das an einem Beispiel durchrechnen könnte würde bestimmt helfen :(
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Das Problem an dieser Reihe ist halt, das sowohl die untere als auch die obere Grenze gegen unendlich laufen.
Was du vielleicht machen könntest ist folgendes:
[mm] $a_1 [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^2 \frac{1}{k} [/mm] = 1,5$
[mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] $\summe_{k=n+1}^{2n + 2} \frac{1}{k} [/mm] = [mm] \frac{1}{2n + 1} [/mm] + [mm] \frac{1}{2n + 2} [/mm] - [mm] \frac{1}{n} [/mm] + [mm] \summe_{k=n}^{2n} \frac{1}{k} [/mm] = [mm] \frac{1}{2n + 1} [/mm] + [mm] \frac{1}{2n + 2} [/mm] - [mm] \frac{1}{n} [/mm] + [mm] a_n$
[/mm]
Damit hättest du eine rekursive Folge, bei der du nicht mehr das Problem hast, dass beide Grenzen gegen unendlich laufen.
Wenn du bereits weißt wie man die Konvergenz solcher Folgen zeigt könnte dir vielleicht auch das helfen (Stichwort: monoton und beschränkt).
lg
Schadow
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