Konvergenz einer Folge < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:30 Mo 27.06.2011 | | Autor: | physicus |
Moin,
Ich wollte euch nur nach der Korrektheit dieses Beweises fragen:
Sei [mm] (f_k)_{k\in \IN}L^2((0,1),dx) [/mm] mit dem Lebesguemass, mit
[mm]f_k(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } k \in [\bruch{2*n}{k},\bruch{2*n+1}{k}) \\ -1, & \mbox{für } k \in [\bruch{2*n+1}{k},\bruch{2*n+2}{k}) \end{cases}[/mm]
Ich hoffe, dass ich die Funktion richtig angeschrieben haben: Sie hat auf dem Interval $\ [mm] (0,\bruch{1}{k}) [/mm] $ den Wert 1, dann auf dem nächsten Intervall der Länge $\ [mm] \bruch{1}{k}$ [/mm] den Wert -1 usw. Ich erhalte also k verschiedene Intervalle auf denen die Funktion jeweils abwechselnd $\ +1, -1 $ annimmt.
Nun würde ich gerne zeigen:
$\ g [mm] \in L^2((0,1),dx) [/mm] $ und stetig, dann gilt:
[mm]\integral_{0}^{1}{f_k(x)g(x) dx} \to 0 \mbox{für} k \to \infty [/mm]
Das habe ich mit dominierter Konvergenz gemacht:
[mm] |f_k(x)g(x)| \le g(x) \in L^2 [/mm] und daher:
[mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\integral_{0}^{1}{f_k(x)g(x) dx}=\integral_{0}^{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}f_k(x)g(x) dx} = 0[/mm]
Ich bin mir nur nicht sicher, wieso ich brauche, dass die Funktion $\ g $ stetig sein muss. Sie muss doch nur in $\ [mm] L^2 [/mm] $ sein, oder?
Danke für die Antwort,
Gruss
physicus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 Di 28.06.2011 | | Autor: | SEcki |
> Das habe ich mit dominierter Konvergenz gemacht:
>
> [mm]|f_k(x)g(x)| \le g(x) \in L^2[/mm] und daher:
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\integral_{0}^{1}{f_k(x)g(x) dx}=\integral_{0}^{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}f_k(x)g(x) dx} = 0[/mm]
Ich bezweifle, dass der Limes der Funktionen [m]f_k(x)g(x)[/m] existiert!
SEcki
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Wie kann man den sonst die Aussage zeigen?
Ich weiss sonst nicht wie ich zeigen kann, dass der Limes 0 ist.
Gruss
physicus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Fr 01.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich würde das Integral in eine summe von Integralen verwandeln!
habs aber nicht zu ende geführt.
Gruss leduart
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Etwas verspätet habe ich einen Lösungsvorschlag:
Ich kann doch das wie folgt schreiben:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{f_k(x)g(x) dx}=\limes_{k\rightarrow\infty}(\integral_{0}^{1}{1_{[\bruch{2n}{k},\bruch{2n+1}{k})}g(x) dx}-\integral_{0}^{1}{1_{[\bruch{2n+1}{k},\bruch{2n+2}{k})}g(x) dx})=\limes_{k\rightarrow\infty}(\integral_{[\bruch{2n}{k},\bruch{2n+1}{k})}{1g(x) dx}-\integral_{[\bruch{2n+1}{k},\bruch{2n+2}{k})}{1g(x) dx})[/mm]
Naja und für $\ k [mm] \to \infty [/mm] $ geht das doch gegen eine Nullmenge, dann ist egal was für Werte $\ g $ auf dieser Menge annimmt, das Integral ist immer 0. Stimmt meine Überlegungen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 17.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Fr 29.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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