Konvergenz einer Folge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Mi 27.04.2005 | | Autor: | DarkSea |
Ich hätte folgendes Problem: Wir haben eine Aufgabe aufbekommen, bei der ich überhaupt nicht weiterkomme... (was u.a. auch daran liegt, dass ich im letzten Semester, wo dieses Thema hauptsächlich behandelt wurde nicht studiert hab...).
Also:
Es sei x eine reelle Zahl mit 1 [mm] \le [/mm] x. Wir setzen
[mm] a_{1} [/mm] = x [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] x^{a_{n}} [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] a_{2} [/mm] = [mm] x^{x} a_{3} [/mm] = [mm] x^{(x^{x})} a_{4} [/mm] = [mm] x^{(x^{(x^{x}))}} [/mm] usw
Für welche Werte von x konvergiert die Folge [mm] a_{n}, [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] ?
Gebe die Grenzwerte an, falls sie existieren.
Hinweis: Zeige, dass die Folge monoton wachsend ist.
Dazu haben wir dann noch tolle Tipps bekommen, die auch nicht wirklich helfen:
[mm] a_{n} [/mm] konvergiert [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] [ , ] <--- irgendein Intervall
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] -> [mm] \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] (a_{\infty})^{a_{\infty}} [/mm] --> [mm] \bruch{1}{x} \in [/mm] Bild(f)
[mm] \Leftarrow [/mm] I) [mm] a_{n} [/mm] monoton II) [mm] a_{n} [/mm] beschränkt daraus folgt: [mm] a_{n} [/mm] konvergent
wie gesagt, ich hab da irgendwie keine idee... hat die irgendjemand ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:48 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Darksea,
dir ein herzliches
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Natürlich gilt für $x=1$, dass [mm] $a_n=1,\quad n\in\IN$. [/mm] Daher konvergiert die Folge für $x=1$ gegen $1$.
Sei also im folgenden $x>1$. Für $y>1$ gilt [mm] $y^y>y^1=y$, [/mm] damit ist [mm] $a_n$ [/mm] für $x>1$ eine streng monoton steigende Folge.
Wenn [mm] $1
Ist [mm] $x>\sqrt{2}$ [/mm] findet man keine obere Schranke mehr (Widerspruchsbeweis?).
Ich hoffe das hilft dir.
Gruß Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 So 01.05.2005 | | Autor: | DarkSea |
hm.. .joa danke, macht schon Sinn... Ich hoffe nur, dass das als Beweis reicht bzw wüsste nicht, wie ich es in dem Sinne wirklich beweisen sollte, dass das so stimmt... z.b. die Tipps die er uns gegeben hat, dass der Grenzwert von [mm] a_{n+1} [/mm] gleich dem grenzwert von [mm] a_{n} [/mm] sein muss und die anderen sachen.. naja ich werd jetzt erstmal versuchen, das so einigermaßen sinnvoll aufzuschreiben
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 Mo 02.05.2005 | | Autor: | DarkSea |
hm, in der Uni hat man heute gemunkelt, dass die Folge für x = [mm] e^{\bruch{1}{e}} [/mm] auch noch konvergiert.. aber nun ist abgegeben und zu spät.. mal gucken was passiert :)
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