Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:51 Di 01.03.2005 | | Autor: | BJJ |
Hallo,
ich habe folgende Frage: Angenommen wir haben eine Folge [mm] (S_{n}) [/mm] wobei die Folgenglieder [mm] S_{n} [/mm] von der folgenden Gestalt sind
[mm] S_{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{n} \summe_{i=1}^{n} a_{i}
[/mm]
mit [mm] a_{i} \geq [/mm] 0 fuer alle i. Folgt aus Konvergenz von [mm] (S_{n}), [/mm] dass die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] gegen 0 konvergiert? Wie koennte man das zeigen, wenn das stimmt?
Vielen Dank und viele Gruesse
bjj
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:17 Di 01.03.2005 | | Autor: | Max |
Hallo bjj,
wegen
[mm] $S_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{n}=\sum_{i=1}^n b_i$
[/mm]
weiß man, dass [mm] $b_i [/mm] := [mm] \frac{a_i}{n}$ [/mm] eine Nullfolge sein muss. Es gibt aber auch Möglichkeiten [mm] $a_i$ [/mm] so zu wählen, dass [mm] $a_i$ [/mm] keine Nullfolge ist (z.B. eine konstante Folge wie [mm] $a_i=1$) [/mm] oder dass [mm] $a_i$ [/mm] überhaupt nicht konvergiert (z.B. [mm] $a_i=\begin{cases} 0, & \mbox{für } i \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{für } i \mbox{ ungerade} \end{cases}$).
[/mm]
Gruß Brackhaus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:35 Di 01.03.2005 | | Autor: | BJJ |
Hallo Brackhaus,
erst einmal herzlichen Dank fuer die Antwort.
Die Voraussetzung war ja, dass die Folge [mm] (S_{n}) [/mm] konvergent ist. Setze ich [mm] a_{i} [/mm] = 1 fuer alle i, dann haben wir die harmonische Reihe, die bekanntermassen divergiert. Aehnliches muesste auch fuer [mm] (S_{n}) [/mm] gelten, wenn wir die zweite Alternative fuer [mm] a_{i} [/mm] waehlen, naemlich
[mm]a_i=\begin{cases} 0, & \mbox{für } i \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{für } i \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]).
Oder liege ich da falsch? Gibt es also eine Folge [mm] (a_{i}), [/mm] die nicht gegen 0 konvergiert, so dass aber trotzdem
[mm] \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n} a_{i}
[/mm]
konvergent ist?
Gruss
bjj
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:07 Di 01.03.2005 | | Autor: | BJJ |
Die Folge [mm] (a_{i}) [/mm] darf natürlich nur aus nicht-negativen Folgegliedern bestehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Di 01.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo BJJ!
Es handelt sich für [mm] $a_i [/mm] = 1$ nicht um die harmonische Reihe (wobei ich auch erst diesem Trugschluß erlegen bin  ).
Unsere Reihe lautet ja für [mm] $a_i [/mm] = 1$ :
[mm] $S_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} a_i [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1 \ = \ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \underbrace{1 + 1 + ... + 1}_{n \ Summanden} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * n \ = \ 1$ also konvergent!
Brackhaus hat also mit seiner Behauptung recht
(Konvergente Reihe [mm] $S_n$ [/mm] mit [mm] $a_i$ [/mm] als Nicht-Nullfolge) !!
Kann es sein, daß du mit Deinen Laufvariabelen etwas durcheinander geraten bist ($i$ und $n$)?
Bitte schau doch nochmal nach und melde Dich!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:09 Di 01.03.2005 | | Autor: | BJJ |
Hallo Loddar und Brackhaus,
Ihr habt natürlich recht!
Danke und viele Grüße
bjj
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 Di 01.03.2005 | | Autor: | Max |
Glück gehabt!
Ich hatte schon gedacht, dass ich heute morgen wieder mal wirr im Kopf war ![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
Ergänzung:
Es reicht wenn [mm] $a_i$ [/mm] eine beschränkte Folge ist, also [mm] $|a_i|
[mm] $|b_i|=\left|\frac{a_i}{n}\right|=\frac{|a_i|}{n}\le \frac{K}{n}$ [/mm]
Damit hat [mm] $b_i$ [/mm] eine Nullfolge als Majorante.
Gruß Brackhaus
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