Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:50 Do 08.03.2007 | | Autor: | Daox |
| Aufgabe | Man zeige die Konvergenz der Folge
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n+2} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{2n} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n+i} [/mm] |
Hallo!
Ich schätze zuerst müsste man die Monotonie nachweisen: [mm] x_n [/mm] + [mm] \bruch{1}{2n - 1} [/mm] < [mm] x_n [/mm] + [mm] \bruch{1}{2n - 1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2n} [/mm] => 0 < [mm] \bruch{1}{2n} [/mm] => also monoton steigend.
Aber nun habe ich Probleme die Grenze zu finden, um die Beschränktheit nachzuweisen. Ein Grenzwert dieser Summe ist mir nicht bekannt und als rekursive Folge umgeschrieben komme ich auch nciht weiter.
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Hallo Daox,
das mit der Monotonie hast du falsch verstanden. Da kommt es auf den Einluss von n an, d.h. wenn ich stattdessen (n+1) verwende.
Was passiert denn mit dem Summenwert, wenn du statt von [mm] \frac{1}{n+1} [/mm] bis [mm] \frac{1}{2n} [/mm] jetzt ueber [mm] \frac{1}{n+2} [/mm] bis [mm] \frac{1}{2n+2} [/mm] summierst. Wird die Summe dann groesser, kleiner oder bleibt sie fuer jedes n immer gleich?
Du solltest rausbekommen, dass die Summe monoton waechst. (Du hattest zwar das gleiche schon gesagt, aber deine Argumentation war nicht in Ordnung.)
Jetzt musst du noch zeigen, dass die Summe nach oben beschraenkt ist, z.B. durch die Zahl 42 (oder irgendeine andere Zahl).
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Do 08.03.2007 | | Autor: | Daox |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Man würde also einfach einen Grenzwert suchen, und mit Inkduktion zeigen, dass dieser nicht überschritten wird?
also: Induktionsverankerung: n=1: 0.5 [mm] \le [/mm] 42
Induktionsannahme [mm] a_n \le [/mm] 42
Induktionsschluss: [mm] a_n_+_1 [/mm] =
hmm, ich glaube da ist wieder ein Denkfehler
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Do 08.03.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
Deine Folge lautet ja
[mm] a_n=\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n+i}
[/mm]
Es gilt
[mm] \bruch{1}{n+i}\le\bruch{1}{n+1} [/mm] für jedes [mm] i\ge1
[/mm]
es kommen n Terme in Deiner Summe vor, also gilt
[mm] a_n=\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n+i}\le\bruch{n}{n+1}<1
[/mm]
also ist die Folge beschränkt.
Monotonie musst Du noch selbst nachweisen, aber dann besitzt die Folge einen Grenzwert.
mfg ullim
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