Konvergenz einer "Doppelreihe" < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Sa 16.01.2016 | | Autor: | Manu271 |
| Aufgabe | Man untersuche folgende Doppelreihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} \summe_{m=2}^{\infty} m^{-n} [/mm] |
Hallo,
ich habe zu obiger Aufgabe eine Frage, und zwar hat mein Tutor in Analysis wie folgt umgeformt:
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} \summe_{m=2}^{\infty} m^{-n} [/mm] = [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \summe_{m=2}^{\infty} \bruch{1}{(m^n)} [/mm] = [mm] \summe_{m=2}^{\infty} \bruch{1}{m^2}*\bruch{1}{1-\bruch{1}{m}} [/mm] = [mm] \summe_{m=2}^{\infty} \bruch{1}{m-1}-\bruch{1}{m} [/mm] = 1
Der einzige Punkt den ich nicht verstehe ist nach dem zweiten "=", dort wo die Summe über n verschwindet.
Ich weiß, dass [mm] \summe_{m=2}^{\infty} \bruch{1}{m^n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{m}} [/mm] (Da es ja eine geometrische Reihe ist) und danach handelt es sich um eine Teleskopsumme, hier ist alles klar.
Aber woher kommt der Faktor [mm] \bruch{1}{m^2}, [/mm] nach dem zweiten "=" und wieso verschwindet die Summe über n ?
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen
LG
Manu271
|
|
| |
|
Hallo,
> Man untersuche folgende Doppelreihe auf Konvergenz:
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \summe_{m=2}^{\infty} m^{-n}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe zu obiger Aufgabe eine Frage, und zwar hat mein
> Tutor in Analysis wie folgt umgeformt:
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \summe_{m=2}^{\infty} m^{-n}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \summe_{m=2}^{\infty} \bruch{1}{(m^n)}[/mm]
> = [mm]\summe_{m=2}^{\infty} \bruch{1}{m^2}*\bruch{1}{1-\bruch{1}{m}}[/mm]
> = [mm]\summe_{m=2}^{\infty} \bruch{1}{m-1}-\bruch{1}{m}[/mm] = 1
> Der einzige Punkt den ich nicht verstehe ist nach dem
> zweiten "=", dort wo die Summe über n verschwindet.
> Ich weiß, dass [mm]\summe_{m=2}^{\infty} \bruch{1}{m^n}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{1-\bruch{1}{m}}[/mm] (Da es ja eine geometrische Reihe
Hier muss über n summiert werden, sonst hat das mit geometrischer Reihe nix zu tun.
Das beantwortet auch gleichzeitig deine Frage wohin die Reihe über n verschwindet.
> ist) und danach handelt es sich um eine Teleskopsumme, hier
> ist alles klar.
> Aber woher kommt der Faktor [mm]\bruch{1}{m^2},[/mm] nach dem
> zweiten "=" und wieso verschwindet die Summe über n ?
> Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen
>
> LG
> Manu271
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Sa 16.01.2016 | | Autor: | Manu271 |
Okay vielen Dank, das mit der geometrischen Reihe habe ich jetzt verstanden.
Das einzige, was ich noch nicht verstehe ist, woher der Faktor [mm] \bruch{1}{m^2} [/mm] kommt.
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} \summe_{m=2}^{\infty} m^{-n} [/mm] = (Summen [mm] tauschen)\summe_{m=2}^{\infty} \summe_{n=2}^{\infty} m^{-n} [/mm] = (geometrische Reihe angewendet)
[mm] \summe_{m=2}^{\infty} \bruch{1}{1-\bruch{1}{m}}
[/mm]
Ich hoffe das kann mir noch jemand erklären.
|
|
|
| |
|
Hiho,
> [mm] \summe_{m=2}^{\infty} \summe_{n=2}^{\infty} m^{-n}[/mm] [/mm] = (geometrische Reihe angewendet) [mm]\summe_{m=2}^{\infty} \bruch{1}{1-\bruch{1}{m}}[/mm]
Das stimmt nicht.
Beachte deinen Startindex hier und den Startindex der geometrischen Summenformel.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Mo 18.01.2016 | | Autor: | Manu271 |
Okay, ich glaube ich habe es jetzt verstanden:
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} \summe_{m=2}^{\infty} m^{-n} [/mm] = [mm] \summe_{m=2}^{\infty} \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{(m^n)} =\summe_{m=2}^{\infty} \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(m^{n+2})} =\summe_{m=2}^{\infty} \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{m^n*m^2} =\summe_{m=2}^{\infty} \bruch{1}{m^2} \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{m^n} [/mm]
[mm] =\summe_{m=2}^{\infty} \bruch{1}{m^2} \bruch{1}{1-\bruch{1}{m}}
[/mm]
[mm] =\summe_{m=2}^{\infty} \bruch{1}{m-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{m} [/mm] = 1
Vielen Dank nochmal :)
LG,
Manu271
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Okay, ich glaube ich habe es jetzt verstanden:
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \summe_{m=2}^{\infty} m^{-n}[/mm] =
> [mm]\summe_{m=2}^{\infty} \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{(m^n)} =\summe_{m=2}^{\infty} \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(m^{n+2})} =\summe_{m=2}^{\infty} \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{m^n*m^2} =\summe_{m=2}^{\infty} \bruch{1}{m^2} \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{m^n}[/mm]
> [mm]=\summe_{m=2}^{\infty} \bruch{1}{m^2} \bruch{1}{1-\bruch{1}{m}}[/mm]
>
> [mm]%25253D%25255Csumme_%25257Bm%25253D2%25257D%25255E%25257B%25255Cinfty%25257D%252520%25255Cbruch%25257B1%25257D%25257Bm-1%25257D[/mm] [mm]=\sum\limits_{m=2}^{\infty}\frac{1}{m-1}[/mm]- [mm]\bruch{1}{m}[/mm] = 1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Besser Klammern um [mm]\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}[/mm]
>
> Vielen Dank nochmal :)
>
> LG,
>
> Manu271
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
