Konvergenz der Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 Fr 12.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:
(a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{sin(\bruch{1}{3}\pi n^8)}{\wurzel{n^5}}
[/mm]
(b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}(\bruch{n^2+7n+1}{exp(n)})
[/mm]
(c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n [\bruch{1}{2n} exp(\bruch{n^5-3n+7}{n^6-2n^2+2}) ]^2
[/mm]
(d) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(−1)^{n+2}}{5n + 1} [/mm] |
Könnte mir jemand hier Helfen bzw. sagen was ich hier machen/anwenden soll?
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1. rausfinden was konvergenz einer reihe heisst am besten mit dem Skript deiner Vorlesung
2. durchrechnen
3. dasselbe für die absolute Konvergenz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Fr 12.02.2016 | | Autor: | abakus |
Bei Reihen mit ständigem Vorzeichenwechsel ist sicher das Leibniz-Kriterium die erste Wahl.
Für die absolute Konvergenz musst du andere bekannte Kriterien heranziehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Fr 12.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
(a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{sin(\bruch{1}{3}\pi n^8)}{\wurzel{n^5}}
[/mm]
also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |((-1)^n \bruch{sin(\bruch{1}{3}\pi n^8)}{\wurzel{n^5}})| [/mm] = |1*0| = 0
da ja sin sich im Intervall von [-1,1] bewegt und [mm] \wurzel{n^5} [/mm] immer größer wird
[mm] a_{n+1} \le a_n [/mm]
[mm] \bruch{sin(\bruch{1}{3}\pi (n+1)^8)}{\wurzel{(n+1)^5}}) \le \bruch{sin(\bruch{1}{3}\pi n^8)}{\wurzel{n^5}}) [/mm]
[mm] \gdw \bruch{2}{\wurzel{(n+1)^5}}) \le \bruch{2}{\wurzel{n^5}} [/mm] | da ja sinus sich im Intervall von [-1,1] bewegt
[mm] \gdw \wurzel{(n+1)^5} \le \wurzel{n^5} [/mm] | :2
[mm] \gdw (n+1)^5 \le n^5 [/mm] und damit eine falsche Aussage
(b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}(\bruch{n^2+7n+1}{exp(n)})
[/mm]
also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |((-1)^{n+1}(\bruch{n^2+7n+1}{exp(n)}))|
[/mm]
Es ist zwar offensichtlich, aber wie kann ich hier beweisen, dass exp(n) schneller wächst im [mm] \infty [/mm] als [mm] n^2 [/mm] ? Damit wäre die Folge im [mm] \infty [/mm] auch 0
[mm] a_{n+1} \le a_n
[/mm]
[mm] \bruch{(n+1)^2+7(n+1)+1}{exp(n+1)}) [/mm] = [mm] \bruch{n^2+9n+9}{exp(n+1)}) \le \bruch{n^2+7n+1}{exp(n)}) [/mm]
Es ist zwar wieder offensichtlich, dass exp(n+1) schneller wächst als exp(n) und damit ist [mm] a_{n+1} \le a_n [/mm] , aber wie ich das beweisen kann weiß ich nicht :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Fr 12.02.2016 | | Autor: | Jule2 |
Hi!!
Es ist immer schwierig etwas zu beantworten wenn man erstmal raten muss was du überhaupt zeigen willst!!
Zu a) ich gehe jetzt mal davon aus du möchtest zeigen das die Reihe absolut konvergent ist.
So du hast ja schon richtig bemerkt das gilt [mm] -1\le [/mm] sin(x) [mm] \ge [/mm] 1 für alle x [mm] \in \IR!
[/mm]
Nun kannst du also
[mm] |(-1)^n \bruch{sin(\bruch{1}{3}\pi n^8)}{\wurzel{n^5}}| [/mm] geignet nach oben abschätzen
mit [mm] |(-1)^n \bruch{sin(\bruch{1}{3}\pi n^8)}{\wurzel{n^5}}| \le \bruch{1}{\wurzel{n^5}}\le\bruch{1}{\wurzel{n^4}}
[/mm]
Was kannst du nun über die Reihe sagen??
Die b) machen wir dannach
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Fr 12.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
[mm] \bruch{1}{\wurzel{x^4}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] wenn ich mich nicht irre.
Also die Reihe konvergiert gegen 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Fr 12.02.2016 | | Autor: | Jule2 |
Nein die Folge konvergiert gegen null!
Die Reihe konvergiert absolut aber nicht gegen null!!
Und wenn die Reihe absolut konvergiert was kannst du dann über die "normale"
Konvergenz der Reihe sagen???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Fr 12.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
> Nein die Folge konvergiert gegen null!
Was habe ich geschrieben?
> Die Reihe konvergiert absolut aber nicht gegen null!!
> Und wenn die Reihe absolut konvergiert was kannst du dann
> über die "normale"
> Konvergenz der Reihe sagen???
Dass sie gegen immernoch gegen Null konvergiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Fr 12.02.2016 | | Autor: | Jule2 |
Also du schreibst die Reihe konvergiert gegen null das tut sie aber nicht sondern die Folge und dass ist nunmal nicht das selbe!!
Und nein wenn du weisst das die Reihe absolut konvergiert dann weisst du auch das sie konvergiert!!
Nach dem Grenzwert ist nich gefragt deswegen musst du diesen auch nicht berechnen!!
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Fr 12.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
Ist doch gut...
Wie soll es weiter gehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Fr 12.02.2016 | | Autor: | Jule2 |
Weiter gehts mit uns beiden gar nicht mehr, denn wenn ich mir schon die Zeit nehme auf deine Fragen zu antworten und dein mit verlaub oftmals mit nicht besonders viel Mühe Aufgeschriebenes zu entziffern, dann kannst du doch wenigstens etwas mehr Benehmen an den Tag legen!! Also schönen Abend trotzdem und die a) ist damit ja auch fertig!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:03 Fr 12.02.2016 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Bei Reihen mit ständigem Vorzeichenwechsel ist sicher das Leibniz-Kriterium die erste Wahl.
gerade bei der ersten Reihe bringt das leider absolut gar nichts, da das Leibniz-Kriterium Monotonie für den Betrag der Folge fordert. Und die ist hier leider nicht gegeben...
Gruß,
Gono
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