Konvergenz der Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Do 11.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass die Folge
[mm] (a_n)_{n\in\IN_0} [/mm] mit [mm] a_0 [/mm] := 2 und [mm] a_{n+1} :=\wurzel[]{a_n}+\bruch{a_n}{2}
[/mm]
für n ∈ [mm] \IN_0 [/mm] konvergiert,
und berechnen Sie den Grenzwert |
[mm] a_0 [/mm] := 2 und [mm] a_{n+1} :=\wurzel[]{a_n}+\bruch{a_n}{2}
[/mm]
Ich habe die Folge untersucht und als behaupte, dass für die Folge
2 [mm] \le a_n \le [/mm] 4 für [mm] n\in\IN_0 [/mm] gilt.
Beschränktheit mittels vollständiger Induktion:
[mm] a_{n+1} \le \wurzel[]{2}+\bruch{2}{2} [/mm] = [mm] \wurzel[]{2}+1 [/mm] > 2, da es [mm] \approx [/mm] 2,4 ergibt und
[mm] a_{n+1} \le \wurzel[]{4}+\bruch{4}{2} [/mm] = 2+2 = 4
Aus der Beschränktheit folgt für alle [mm] n\in\IN_0
[/mm]
[mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n [/mm] = [mm] \wurzel[]{a_n}+\bruch{a_n}{2} [/mm] - [mm] a_n [/mm] = [mm] \wurzel[]{a_n}+\bruch{a_n}{2} [/mm] - [mm] \bruch{2a_n}{2} [/mm] = [mm] \wurzel[]{a_n}+\bruch{a_n}{2} [/mm] = [mm] \wurzel[]{4}-\bruch{4}{2} [/mm] = 2-2 = 0
also [mm] a_{n+1} \ge [/mm] [mm] a_n [/mm] für alle [mm] n\in\IN_0, [/mm] d.h. die Folge ist monoton wachsend und beschränkt. Damit ist Folge auch konvergent. Wir setzen a := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] und berechnen
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel[]{a_n}+\bruch{a_n}{2}) \gdw a=(\wurzel[]{a}+\bruch{a}{2}) \gdw 0=\wurzel[]{a}+\bruch{a}{2}-a \gdw \wurzel[]{a}-\bruch{a}{2} [/mm] = 0 [mm] \gdw (\wurzel[]{a})^2-(\bruch{a}{2})^2 [/mm] = 0 [mm] \gdw a-\bruch{a^2}{4} [/mm] = 0 [mm] \gdw 4a-a^2 [/mm] = 0 [mm] \gdw a^2-4a [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] a(a-4) = 0
also würde ich für [mm] a^2 \gdw [/mm] a=0 und a=4 bekommen, ist das alles richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Do 11.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie, dass die Folge
> [mm](a_n)_{n\in\IN_0}[/mm] mit [mm]a_0[/mm] := 2 und [mm]a_{n+1} :=\wurzel[]{a_n}+\bruch{a_n}{2}[/mm]
>
> für n ∈ [mm]\IN_0[/mm] konvergiert,
> und berechnen Sie den Grenzwert
> [mm]a_0[/mm] := 2 und [mm]a_{n+1} :=\wurzel[]{a_n}+\bruch{a_n}{2}[/mm]
>
> Ich habe die Folge untersucht und als behaupte, dass für
> die Folge
> 2 [mm]\le a_n \le[/mm] 4 für [mm]n\in\IN_0[/mm] gilt.
>
> Beschränktheit mittels vollständiger Induktion:
> [mm]a_{n+1} \le \wurzel[]{2}+\bruch{2}{2}[/mm] = [mm]\wurzel[]{2}+1[/mm] >
Hier sollte es wohl lauten: [mm]a_{n+1} \ge \wurzel[]{2}+\bruch{2}{2}[/mm]
> 2, da es [mm]\approx[/mm] 2,4 ergibt und
> [mm]a_{n+1} \le \wurzel[]{4}+\bruch{4}{2}[/mm] = 2+2 = 4
Das ist ein ganz schlampiger Induktionsbeweis !! Dafür würde ich Dir jede Menge Punkte abziehen.
Wo ist der Induktionsanfang ? Wo die Induktionsvoraussetzung ?
>
> Aus der Beschränktheit folgt für alle [mm]n\in\IN_0[/mm]
> [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]a_n[/mm] = [mm]\wurzel[]{a_n}+\bruch{a_n}{2}[/mm] - [mm]a_n[/mm] =
> [mm]\wurzel[]{a_n}+\bruch{a_n}{2}[/mm] - [mm]\bruch{2a_n}{2}[/mm] =
> [mm]\wurzel[]{a_n}+\bruch{a_n}{2}[/mm]
Das stimmt nicht ! Richtig wäre = [mm]\wurzel[]{a_n}-\bruch{a_n}{2}[/mm]
= [mm]\wurzel[]{4}-\bruch{4}{2}[/mm] =
> 2-2 = 0
>
> also [mm]a_{n+1} \ge[/mm] [mm]a_n[/mm] für alle [mm]n\in\IN_0,[/mm] d.h. die Folge
> ist monoton wachsend
Das hast Du nicht korrekt gezeigt ! Mach es sauber mit Induktion.
> und beschränkt. Damit ist Folge auch
> konvergent. Wir setzen a := [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm]
> und berechnen
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel[]{a_n}+\bruch{a_n}{2}) \gdw a=(\wurzel[]{a}+\bruch{a}{2}) \gdw 0=\wurzel[]{a}+\bruch{a}{2}-a \gdw \wurzel[]{a}-\bruch{a}{2}[/mm]
> = 0 [mm]\gdw (\wurzel[]{a})^2-(\bruch{a}{2})^2[/mm] = 0 [mm]\gdw a-\bruch{a^2}{4}[/mm]
> = 0 [mm]\gdw 4a-a^2[/mm] = 0 [mm]\gdw a^2-4a[/mm] = 0 [mm]\gdw[/mm] a(a-4) = 0
O.K.
> also würde ich für [mm]a^2 \gdw[/mm] a=0 und a=4
???????
> bekommen, ist
> das alles richtig?
Na ja, für den Grenzwert a kommen in Frage: a=0 oder a=4
Was ist nun der Grenzwert von [mm] (a_n) [/mm] ??
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Do 11.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
Der Grenzwert ist jetzt a=4 da ja [mm] a_n [/mm] = [2,4]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Do 11.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Der Grenzwert ist jetzt a=4 da ja [mm]a_n[/mm] = [2,4]
Wenn Du [mm]a_n[/mm] [mm] \in [/mm] [2,4] schreiben wolltest, stimmts.
FRED
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