Konvergenz der Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Mi 10.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Folge
[mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] mit
[mm] a_n [/mm] := [mm] \bruch{cos^2(n)-sin^3(n)}{n^2-4n-1}
[/mm]
konvergiert, und geben Sie den Grenzwert an. |
Ich konnte feststellen, dass [mm] Cos^2(n) [/mm] sich im Intervall von [0,1] und [mm] Sin^3(n) [/mm] [-1,1] bewegt Also das Invervall für das Ganze ist[-1,2]Richtig?
Man kann jetzt eigentlich behaupten, dass die Folge beschränkt ist.
Grenzwert der Folge ist 0 da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n^2 (\bruch{cos^2(n)}{n^2}
-\bruch{sin^3(n)}{n^2})}{n^2(1-\bruch{4n}{n^2}-\bruch{1}{n^2})} [/mm] = [mm] \bruch{0}{1} [/mm] = 0
Kann mir jemand weiterhelfen und sagen ob mein Grenzwert richtig berechnet/bestimmt wurde?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Mi 10.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
Ich soll ja auch die Konvergenz beweisen? Könnten Sie mir dabei helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:25 Do 11.02.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
einfach ein n angeben, für das [mm] a_n< \epsilon. [/mm] dazu den Zähler durch 2 vergrößern, den nenne verkleinern etwa durch [mm] n^2/2
[/mm]
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Do 11.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
Das ist ja mein Problem ich weiß nicht wie ich das zu machen habe und was ich für n wählen soll.
Könntest du mir mal den Anfang zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Do 11.02.2016 | | Autor: | fred97 |
Du willst also mit [mm] \varepsilon [/mm] zeigen, dass [mm] $a_n= \bruch{cos^2(n)-sin^3(n)}{n^2-4n-1} [/mm] $ eine Nullfolge ist.
1. Mach Dir klar, dass [mm] n^2-4n-1 \ge n^2/2 [/mm] ist für n [mm] \ge [/mm] 9.
2. Damit haben wir
[mm] |a_n-0|=|a_n|=\bruch{|cos^2(n)-sin^3(n)|}{n^2-4n-1} \le \bruch{2}{n^2-4n-1} \le \bruch{4}{n^2} \le \bruch{4}{n} [/mm]
Jetzt Du.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Do 11.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
> Du willst also mit [mm]\varepsilon[/mm] zeigen, dass [mm]a_n= \bruch{cos^2(n)-sin^3(n)}{n^2-4n-1}[/mm]
> eine Nullfolge ist.
>
> 1. Mach Dir klar, dass [mm]n^2-4n-1 \ge n^2/2[/mm] ist für n [mm]\ge[/mm]
> 9.
>
> 2. Damit haben wir
>
> [mm]|a_n-0|=|a_n|=\bruch{|cos^2(n)-sin^3(n)|}{n^2-4n-1} \le \bruch{2}{n^2-4n-1} \le \bruch{4}{n^2} \le \bruch{4}{n}[/mm]
ist doch jetzt
[mm] \bruch{4}{n} \le \bruch{4}{n_0} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
oder soll ich das weiter abschätzen?
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig. Für alle n [mm] \ge n_0 [/mm] > [mm] \bruch{4}{\varepsilon}
[/mm]
>
> Jetzt Du.
>
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Do 11.02.2016 | | Autor: | Loddar |
Hallo rsprsp!
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig. Für alle n [mm]\ge n_0[/mm] > [mm]\bruch{4}{\varepsilon}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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