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Konvergenz bestimmen 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:46 So 01.11.2009
Autor: kushkush

Aufgabe
Untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:

b) [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}$ [/mm]

Guten Abend,



Ich habe diese Aufgabe mit dem Wurzelkriterium gelöst:

[mm] $\sqrt[k]{(-1)^{k}}$= [/mm] -1

da gelten muss : [mm] 0
ist diese reihe nicht konvergent...



stimmt diese Lösung?



Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.

        
Bezug
Konvergenz bestimmen 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:59 So 01.11.2009
Autor: steppenhahn

Hallo!

> Untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:
>  
> b) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}[/mm]


> Ich habe diese Aufgabe mit dem Wurzelkriterium gelöst:
>
> [mm]\sqrt[k]{(-1)^{k}}[/mm]= -1
>
> da gelten muss : [mm]0
>
> ist diese reihe nicht konvergent...

Dein Ergebnis stimmt (kann man sich auch logisch herleiten: Gegen was soll denn $1 + (-1) + 1 + (-1) + ...$ bitte konvergieren? :-) )

Aber die Anwendung des Wurzelkriteriums... Räusper, hust.

Das Wurzelkriterium besagt, dass [mm] \sum_{k=0}^{\infty}a_{n} [/mm] konvergent ist, wenn

[mm] $\lim_{n\to\infty} [/mm] sup [mm] \sqrt[n]{|a_{n}|} [/mm] < 1$.

Das schlägt bei dir fehl, da

[mm] $\lim_{n\to\infty} [/mm] sup\ [mm] \sqrt[n]{|a_{n}|} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] sup\ [mm] \sqrt[n]{|(-1)^{n}|} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] sup\ [mm] \sqrt[n]{1} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] sup\ 1 = 1$.

Nun weißt du aber lediglich, dass es fehlschlägt, die Konvergenz mit dem Wurzelkriterium nachzuweisen.

Doch glücklicherweise macht das Wurzelkriterium auch eine Aussage dazu, wann deine Reihe nicht konvergiert, nämlich wenn [mm] $\lim_{n\to\infty} [/mm] sup [mm] \sqrt[n]{|a_{n}|} \ge [/mm] 1$ für unendlich viele n, und das ist bei dir ja offensichtlich erfüllt.

Grüße,
Stefan

Bezug
                
Bezug
Konvergenz bestimmen 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:17 So 01.11.2009
Autor: kushkush

Hi steppenhahn,


Dankeschön!

Bezug
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