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| Aufgabe | Welche der folgenden Funktionenfolgen [mm] (f_{n})_{n\varepsilon\IN} [/mm] konvergieren punktweiße bzw. gleichmäßig auf dem [mm] Intervall[0,\pi/2] [/mm] ? Geben Sie gegebenenfalls die Grenzfunktion [mm] f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x) [/mm] für x [mm] \varepsilon [0,\pi/2] [/mm] an.
a.) [mm] sin^{n}(x)
[/mm]
b.) cos(x/n)
[mm] c.)\bruch{1}{ln*n}sin(nx) [/mm] |
Guten Abend Allerseits!
Wie kann ich diese Aufgabe (grundsätzlich) lösen ? Die Definitionen kenne ich und weiß, dass gleichmäßige-K. => pkt.K . Wenn die Grenzfunktion stetig ist, ist die Fkt. gleichmäßig konvergent, bis hier korrekt ?
Ich versuch mal die b.) .. für [mm] n=>\infty [/mm] ist die Fkt. 1
für n=>0 ist die Fkt [mm] \infty [/mm] ?
Grenzfunktion := g [mm] =\begin{cases} 1, n=>\infty & \mbox{ } \mbox{ } \\ 0, Rest & \mbox{ } \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
=> g ist unstetig, => pkt. Konv ?
Danke im Vorraus
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> Welche der folgenden Funktionenfolgen
> [mm](f_{n})_{n\varepsilon\IN}[/mm] konvergieren punktweiße bzw.
> gleichmäßig auf dem [mm]Intervall[0,\pi/2][/mm] ? Geben Sie
> gegebenenfalls die Grenzfunktion
> [mm]f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)[/mm] für x [mm]\varepsilon [0,\pi/2][/mm]
> an.
>
> a.) [mm]sin^{n}(x)[/mm]
> b.) cos(x/n)
> [mm]c.)\bruch{1}{ln*n}sin(nx)[/mm]
> Guten Abend Allerseits!
>
> Wie kann ich diese Aufgabe (grundsätzlich) lösen ? Die
> Definitionen kenne ich und weiß, dass gleichmäßige-K. =>
> pkt.K . Wenn die Grenzfunktion stetig ist, ist die Fkt.
> gleichmäßig konvergent, bis hier korrekt ?
Ich weiss zwar, dass daraus, dass eine Folge stetiger Funktionen [mm] $g_n$ [/mm] gleichmässig gegen die Grenzfunktion $g$ konvergiert, folgt, dass die Grenzfunktion $g$ ebenfalls stetig ist.
Richtig ist sicher auch die Kontraposition dieser Implikation: wenn die Grenzfunktion $g$ einer Folge stetiger Funktionen [mm] $g_n$ [/mm] nicht stetig ist, dann kann deren Konvergenz nicht gleichmässig sein.
Aber ob die simple Umkehrung der Richtung der Implikation richtig ist, wie Du hier behauptest, ist mir nicht so klar. Kannst Du diese Schlussweise begründen?
Bem: Eine eingeschränkte Umkehrung der Richtung der Implikation wird ausdrücklich als "Satz von Dini" bezeichnet. Der lautet etwa so: eine auf einer kompakten Menge monoton wachsende Folge von Funktionen [mm] $g_n(x)$, [/mm] mit stetiger Grenzfunktion $g$, konvergiert gleichmässig gegen $g$.
>
> Ich versuch mal die b.) .. für [mm]n=>\infty[/mm] ist die Fkt. 1
Welche Funktion? - Doch kaum die Grenzfunktion, denn die Grenzfunktion enthält keinen Folgenindex $n$ mehr.
> für n=>0 ist die
> Fkt [mm]\infty[/mm] ?
Na, für $n=0$ wäre [mm] $g_n=\cos(x/n)$ [/mm] gar nicht definiert. Ich nehme an, dass [mm] $n\geq [/mm] 1$ ist.
>
> Grenzfunktion := g [mm]=\begin{cases} 1, n=>\infty & \mbox{ } \mbox{ } \\ 0, Rest & \mbox{ } \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
Ich glaube, die Grenzfunktion der Folge [mm] $g_n(x)=\cos(x/n)$ [/mm] auf dem kompakten Intervall [mm] $[0;\pi/2]$ [/mm] ist konstant 1, d.h. $g(x)=1$ für alle [mm] $x\in [0;\pi/2]$.
[/mm]
Weshalb? - Weil die [mm] $g_n(x)$ [/mm] gleichmässig gegen $g(x)=1$ konvergieren. Denn es gilt doch für alle [mm] $x\in [0;\pi/2]$:
[/mm]
[mm]1\geq g_n(x)\geq g_n\big(\tfrac{\pi}{2n}\big)\rightarrow 1, \text{ für $n\rightarrow\infty$}[/mm]
> => g ist unstetig, => pkt. Konv ?
Nein, ich glaube $g$ ist stetig, weil gleichmässige Konvergenz der stetigen Funktionen [mm] $g_n(x)=\cos(x/n)$ [/mm] vorliegt.
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