Konvergenz auf Quadern < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Mi 21.06.2006 | | Autor: | Geddie |
| Aufgabe | | Sei Q [mm] \subset \IR^n [/mm] ein kompakter Quader und [mm] (f_{n}) [/mm] eine Folge von stetigen Funktionen auf q, die auf Q punktweise gegen 0 konvergiert. AUßerdem sei [mm] f_{n} \ge [/mm] 0 und [mm] f_{n+1} \le f_{n} [/mm] für alle n. Zeigen Sie, dass [mm] (f_{n}) [/mm] sogar gleichmäßig konvergiert. |
Hallo zusammen habe zu dieser Aufgabe schon ein paar Ansätze, aber der entscheidene Schritt fehlt mir, da mir der ganze Konvergenzkram eh nicht so behagt.
Also, da die Folge punktweise konvergiert gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x) [/mm] = f(x)
Da laut Voraussetzung die Folge gegen 0 konvergiert, ist f(x) = 0, oder?
So nun muss ich das jetzt in die gleichmäßige Konvergenz übertragen, also
[mm] |f_{n}(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \epsilon
[/mm]
Da f(x) = 0 ist, muss ich also nur noch [mm] |f_{n}(x)| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] zeigen.
Aber dazu bin ich leider noch nicht in der Lage.
Kann mir da jemand helfen?
Wäre super
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Do 22.06.2006 | | Autor: | Geddie |
keiner weiss Rat? :-(
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Ich gebe mal ein paar Hinweise...
Zunächst mal: ist Dir klar, was genau der Unterschied zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz ist? Denn [mm] $|f_n(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] musst Du in beiden Fällen zeigen! Nur bei punktweiser Konvergenz hängt das $n$ vom Punkt $x$ ab und bei gleichmäßiger Konvergenz musst Du ein $n$ finden, dass es für alle Punkte $x$ zugleich tut!
Nimm also punktweise Konvergenz an. Ein erster Schritt ist es, die lokal gleichmäßige Konvergenz zu folgern: ist $x [mm] \in [/mm] Q$ ein beliebiger Punkt, dann gibt es doch ein $n$, so dass gilt: [mm] $f_n(x) [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{2}$. [/mm] Die Betragsstriche lasse ich mal weg, das [mm] $f_n$ [/mm] ist ohnehin positiv. Die zweite Bedingung an die Folge garantiert, dass auch [mm] $f_m [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{2}$ [/mm] für alle $m [mm] \geq [/mm] n$.
Nun ist [mm] $f_n$ [/mm] aber stetig, also gibt es ein [mm] $\delta [/mm] > 0$, so dass für alle $y$ mit [mm] $\| [/mm] x - y [mm] \| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] gilt: $| [mm] f_n(x) [/mm] - [mm] f_n(y)| [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{2}$. [/mm] Und daraus folgt [mm] $f_n(y) [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] (Übung!) und auch wieder [mm] $f_m(y) [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $m [mm] \geq [/mm] n$.
Insgesamt konvergieren die [mm] $f_n$ [/mm] also lokal gleichmäßig: zu jedem Punkt $x$ gibt es eine [mm] $\delta$-Umgebung, [/mm] so dass sich in dieser Umgebung ein $n$ wählen lässt, dass es für alle Punkte der Umgebung tut.
Und jetzt musst Du Dich nur noch erinnern, was Kompaktheit heißt... und Dir eine geeignete Überdeckung suchen... mehr Tipps gebe ich aber nicht.
Solche Schlüsse stehen auch in jedem Analysis-Buch. Ehrlich. 
Lars
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