Konvergenz Taylorreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Di 31.01.2012 | | Autor: | narcotyc |
| Aufgabe | Die Funktion f sei auf [mm] \IR [/mm] beliebig oft differenzierbar und in keiner Umgebung von
[mm] x_{0} [/mm] = 0 identisch Null. Für eine Folge [mm] (x_{n})_{n\in \IN} [/mm] mit [mm] x_{n}\not= [/mm] 0 für alle n [mm] \in \IN [/mm] und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n [/mm] = 0 gelte [mm] f(x_n) [/mm] = 0 für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Beweisen Sie, dass die Taylorreihe von f bezüglich [mm] x_{0} [/mm] = 0 für alle x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert,
jedoch in keiner Umgebung von [mm] x_0 [/mm] = 0 die Funktion f darstellt. |
Schönen guten Abend! Wie gehe ich da heran? Zugegebenermaßen steht die Aufgabe auf einem Übungszettel, der morgen abgegeben werden muss - möglicherweise fehlt mir auch deswegen jeglicher Lösungsansatz. Stress ist nunmal nicht immer förderlich... :/
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Mi 01.02.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Die Funktion f sei auf [mm]\IR[/mm] beliebig oft differenzierbar und
> in keiner Umgebung von
> [mm]x_{0} = 0[/mm] identisch Null. Für eine Folge [mm](x_{n})_{n\in \IN}[/mm]
> mit [mm]x_{n}\not= 0[/mm] für alle [mm]n \in \IN[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n = 0[/mm] gelte [mm]f(x_n) = 0[/mm] für
> alle [mm]n \in \IN.[/mm]
> Beweisen Sie, dass die Taylorreihe von f
> bezüglich [mm]x_{0} = 0[/mm] für alle [mm]x \in \IR[/mm] konvergiert,
> jedoch in keiner Umgebung von [mm]x_0 = 0[/mm] die Funktion f
> darstellt.
> Schönen guten Abend! Wie gehe ich da heran?
> Zugegebenermaßen steht die Aufgabe auf einem
> Übungszettel, der morgen abgegeben werden muss -
> möglicherweise fehlt mir auch deswegen jeglicher
> Lösungsansatz. Stress ist nunmal nicht immer
> förderlich... :/
Du hast nicht sehr viele Angaben über die Funktion. Der Trick hier ist zu zeigen, dass die Funktion f und alle ihre Ableitungen in [mm] $x_0=0$ [/mm] den Wert 0 haben. Denn dann konvergiert die Taylorreihe als unendliche Summe von lauter Nullen überall gegen 0, stellt aber die Funktion in keiner noch so kleinen Umgebung dar.
Wegen der Stetigkeit von f ist
[mm] f(0) = f(\limes_{n\rightarrow\infty}x_n) = \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n) = \limes_{n\rightarrow\infty} 0 = 0 [/mm].
Für die erste Ableitung gilt
[mm] f'(0) = \limes_{x\to 0} \bruch{f(x)-f(0)}{x} = \limes_{x\to 0}\bruch{f(x)}{x} [/mm] .
Da f nach Voraussetzung stetig diff'bar ist, existiert dieser Limes; um ihn auszurechnen, kann ich mir irgendeine Folge nehmen, die gegen 0 konvergiert, also auch die vorgegebene Folge [mm] $(x_{n})_{n\in \IN}$: [/mm]
[mm] f'(0) = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f(x_n)}{x_n} = 0 [/mm] .
Für die höheren Ableitungen musst du dieses Argument fortsetzen, allerdings musst du dazu zeigen, dass es immer eine konvergente Nullfolge [mm] $(x^{(k)}_{n})_{n\in \IN}$ [/mm] mit [mm]x^{(k)}_{n}\not= 0[/mm] für alle [mm]n \in \IN[/mm] gibt, sodass die für die k-te Ableitung [mm] $f^{(k)}$ [/mm] gilt: [mm] $f^{(k)}(x^{(k)}_{n}) [/mm] = 0$ für alle n. Dazu benutzt du den Mittelwertsatz.
Viele Grüße
Rainer
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