Konvergenz Summe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe hier eine Summe die ich auf Konvergenz/Divergenz untersuchen möchte. Habe ich richtig gerechnet, bzw. bin ich richtig vorgegangen?
[mm] \summe \bruch{n-1}{n^{2}}
[/mm]
Ich bin so vorgegangen:
[mm] \bruch{n-1}{n^{2}}=\bruch{1-\bruch{1}{n}}{n}=(1-\bruch{1}{n})*\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1-0)*0=0, also konvergiert die Folge gegen Null.
Ist das richtig?
Gruß, Andreas
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Hiho,
> Hallo,
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> ich habe hier eine Summe die ich auf Konvergenz/Divergenz
> untersuchen möchte. Habe ich richtig gerechnet, bzw. bin
> ich richtig vorgegangen?
>
> [mm]\summe \bruch{n-1}{n^{2}}[/mm]
>
> Ich bin so vorgegangen:
>
> [mm]\bruch{n-1}{n^{2}}=\bruch{1-\bruch{1}{n}}{n}=(1-\bruch{1}{n})*\bruch{1}{n}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1-0)*0=0, also konvergiert die
> Folge gegen Null.
>
> Ist das richtig?
Ja.
Und was heißt das jetzt für die Summe?
MFG,
Gono.
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Hallo,
die Glieder die hinzukommen werden immer kleiner, eigentlich müsste die Summe gegen einen Grenzwert konvergieren, gegen eine sogenannte Schranke!?
Gruß, Andreas
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Hallo Andreas,
> die Glieder die hinzukommen werden immer kleiner,
> eigentlich müsste die Summe gegen einen Grenzwert
> konvergieren, gegen eine sogenannte Schranke!?
Mit diesem Argument wäre auch die harmonische Reihe konvergent. Das ist sie aber nicht.
Vielleicht vergleichst Du Deine Reihe mal mit der harmonischen Reihe - so groß ist der Unterschied ja nicht. 
Grüße
reverend
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Hallo,
die Umformung war ja aber nicht verkehrt oder?
Also von [mm] \bruch{(n-1)}{n^{2}}=(1-\bruch{1}{n})*\bruch{1}{n}
[/mm]
Was habe ich letztendlich damit gezeigt, wenn nicht die Konvergenz bzw. Divergenz der ganzen Summe. Die Konvergenz eines einzelnen Gliedes dieser Summe?
Die harmonische Reihe divergiert, weil der Rest nicht beliebig klein werden kann. Das habe ich so aufgeschnappt. Wenn bei mir aber alle Glieder gegen Null gehen, dann wird der Rest doch beliebig klein?
Gruß, Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:50 Mo 07.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass die Summanden gegen 0 gehen ist notwendig, damit eine summe konvergiert, aber nicht hinreichend.
die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] 1/i divergiert, das hattet ihr sicher, oder lies es unter harmonische Reihe nach.
dann zeige dass deine Reihe kleiner einem vielfachen dieser Reihe ist und damit auch divergiert, (Minorantenkriterium)
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:08 Mo 07.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Andreas,
> Hallo,
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> die Umformung war ja aber nicht verkehrt oder?
>
> Also von
> [mm]\bruch{(n-1)}{n^{2}}=(1-\bruch{1}{n})*\bruch{1}{n}[/mm]
>
> Was habe ich letztendlich damit gezeigt, wenn nicht die
> Konvergenz bzw. Divergenz der ganzen Summe. Die Konvergenz
> eines einzelnen Gliedes dieser Summe?
>
> Die harmonische Reihe divergiert, weil der Rest nicht
> beliebig klein werden kann. Das habe ich so aufgeschnappt.
und warum sollte das oben anders sein? Kennst Du einen "Grund", warum
bei der harmonischen Reihe der Rest nicht beliebig klein werden kann?
Selbst, wenn dann dieser Grund sich hier nicht analog übertragen ließe,
warum sollte es dann nicht doch noch einen anderen Grund geben?
> Wenn bei mir aber alle Glieder gegen Null gehen, dann wird
> der Rest doch beliebig klein?
Bei der harmonischen Reihe gehen doch eben auch alle Glieder gegen Null.
Du kannst Deine Aufgabe übrigens dennoch auch anders lösen, als mit
dem vorgeschlagenen Minorantenkriterium - nichtsdestotrotz musst Du
um die Divergenz der harmonischen Reihe auch hier Bescheid wissen!
Also:
Wir betrachten die Reihe [mm] $\sum \bruch{(n-1)}{n^{2}}\,.$ [/mm] Angenommen, diese Reihe würde konvergieren:
Sei
[mm] $$S:=\sum_{n=1}^\infty \frac{n-1}{n^2}\,.$$
[/mm]
(D.h. [mm] $S:=\lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N \frac{n-1}{n^2}\,.$)
[/mm]
Man kann zeigen, dass [mm] $\sum 1/n^2$ [/mm] konvergiert (z.B. mit dem
Majorantenkriterium, indem man die Reihe mit [mm] $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(n-1)}$
[/mm]
vergleicht und letztere dann als "Ziehharmonikareihe" schreibt; oder aber
mit dem Cauchyschen Verdichtungssatz...). Es existiert also [mm] $T:=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ [/mm] (ohne
Beweis: es ist sogar [mm] $T=\pi^2/6$ [/mm] bekannt).
Was wäre denn dann [mm] $S+T\,,$ [/mm] und zu was steht das im Widerspruch?
(Hinweis: Es gilt offenbar
[mm] $$\frac{1}{n}=\Big(\frac{n}{n^2}-\frac{1}{n^2}\Big)+\frac{1}{n^2}\,,$$
[/mm]
und nun kannst Du Rechenregeln für konvergente Reihen/Folgen
heranziehen...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:55 Mo 07.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich habe hier eine Summe die ich auf Konvergenz/Divergenz
> untersuchen möchte. Habe ich richtig gerechnet, bzw. bin
> ich richtig vorgegangen?
>
> [mm]\summe \bruch{n-1}{n^{2}}[/mm]
>
> Ich bin so vorgegangen:
>
> [mm]\bruch{n-1}{n^{2}}=\bruch{1-\bruch{1}{n}}{n}=(1-\bruch{1}{n})*\bruch{1}{n}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1-0)*0=0, also konvergiert die
> Folge gegen Null.
>
> Ist das richtig?
Du zeigst nur, dass ein Kriterium erfüllt ist, welches notwendig, aber eben
NICHT hinreichend für die Konvergenz einer Reihe ist.
Nutze Reverends Hinweis, und damit es zwar offensichtlich ist, aber ich
Dir trotzdem nicht wirklich alles direkt hinschreibe:
Für $r,s > 0$ gilt sicher
[mm] $$\frac{r-1}{s} \ge \frac{r-\frac{n}{2}}{s}\;\; \text{ für alle }n \ge 2\,.$$
[/mm]
(Bei Dir kannst Du das auf die [mm] $r=r_n,\;s=s_n$ [/mm] anwenden, welche erfüllen
sollten, dass [mm] $\tfrac{r_n-1}{s_n}=\tfrac{n-1}{n^2}\,;$ [/mm] wie sollte man also [mm] $r_n$ [/mm] und [mm] $s_n$ [/mm] wohl definieren? )
Bei Deiner Frage hier ein wenig "overdosed", aber dennoch: Eine ein
bisschen allgemeinere Aussage, mit welcher man Deine Reihe oben auch
untersuchen könnte, findest Du etwa hier (klick!).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
Ich wollte Euch nur für Eure Hilfe danken. Sobald die Klausurenphase vorbei ist, werde ich mich nochmal mit Konvergenz beschäftigen und dieses Thema wieder aufgreifen.
Das Akkordlernen von Klausur zu Klausur lässt einem leider keine Zeit für andere Dinge.
Gruß, Andreas
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