Konvergenz Sinus < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Mo 24.06.2013 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Untersuche auf Konvergenz/Divergenz.
[mm] a)\summe_{k=0}^{\infty}2^k*sin(\bruch{1}{3^k})
[/mm]
[mm] b)\summe_{k=0}^{\infty}4^k*sin(\bruch{1}{3^k})
[/mm]
[mm] c)\summe_{k=1}^{\infty} k*sin^3(\bruch{1}{k}) [/mm] |
Wir haben die Sinusreihen folgendermaßen untersucht:
Wir haben [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin(x)}{x}=1 [/mm] als Grundlage genommen.
Ich nehme mal folgendes Beispiel:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}sin(\bruch{1}{k^2})
[/mm]
Da [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin(x)}{x}=1 [/mm] gibt es [mm] \delta [/mm] >0 falls [mm] \bruch{sin(x)}{x}<2 [/mm] für [mm] |x|<\delta [/mm]
Da [mm] |\bruch{sin(\bruch{1}{k^2})}{\bruch{1}{k^2}}|\le [/mm] 2 folgt: [mm] sin(\bruch{1}{k^2})<2*\bruch{1}{k^2} [/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}2*\bruch{1}{k^2} [/mm] ist Konvergenz, also auch die Ausgangssumme.
Das Schema ist mir klar, mein Problem bei den 3 Aufgabe ist das [mm] 2^k, 4^k [/mm] bzw. [mm] sin^3 [/mm] , also wo ich das einbaue und verarbeite.
a) und c) sind konvergent, b) ist divergent, so viel weiß ich 
LG
heinze
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Hallo heinze,
> Untersuche auf Konvergenz/Divergenz.
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> [mm]a)\summe_{k=0}^{\infty}2^k*sin(\bruch{1}{3^k})[/mm]
>
> [mm]b)\summe_{k=0}^{\infty}4^k*sin(\bruch{1}{3^k})[/mm]
>
> [mm]c)\summe_{k=1}^{\infty} k*sin^3(\bruch{1}{k})[/mm]
> Wir haben
> die Sinusreihen folgendermaßen untersucht:
>
> Wir haben [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin(x)}{x}=1[/mm]
> als Grundlage genommen.
Ich hoffe stark ihr habt [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x)}{x}=1[/mm] benutzt denn der obige Limes ist nicht 1 sondern 0.
> Ich nehme mal folgendes Beispiel:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}sin(\bruch{1}{k^2})[/mm]
>
> Da [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin(x)}{x}=1[/mm] gibt es
> [mm]\delta[/mm] >0 falls [mm]\bruch{sin(x)}{x}<2[/mm] für [mm]|x|<\delta[/mm]
Was hat das falls in diesem Satz verloren?
Da sollte stattdessen ein "so, dass" stehen.
> Da [mm]|\bruch{sin(\bruch{1}{k^2})}{\bruch{1}{k^2}}|\le[/mm] 2
> folgt: [mm]sin(\bruch{1}{k^2})<2*\bruch{1}{k^2}[/mm]
beides gilt nur für genügend große k.
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}2*\bruch{1}{k^2}[/mm] ist Konvergenz, also
> auch die Ausgangssumme.
>
> Das Schema ist mir klar, mein Problem bei den 3 Aufgabe ist
> das [mm]2^k, 4^k[/mm] bzw. [mm]sin^3[/mm] , also wo ich das einbaue und
> verarbeite.
>
Du hast jeweils ein sin(x), baue dein entsprechendes x künsichtlich ein z.B in der Form [mm] $x\cdot x^{-1}$
[/mm]
> a) und c) sind konvergent, b) ist divergent, so viel weiß
> ich
>
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Mo 24.06.2013 | | Autor: | heinze |
Sorry, das waren Tippfehler. Wie meinst du das mit dem "x einbauen"? verstehe es leider nicht. sin(x) dabei ist [mm] x=\bruch{1}{3^k} [/mm] aber was ist mit [mm] 2^k?
[/mm]
LG
heinze
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> Wie meinst du das mit dem "x einbauen"?
ich hab doch extra noch das z.B hingeschrieben um genau diese Frage zu vermeiden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Mo 24.06.2013 | | Autor: | heinze |
Ich habe leider nicht verstanden wie du das meinst bzw [mm] x*x^{-1} [/mm] ist doch 1!
Sorry, ich sehe es vor Einfachheit grad vermutlich nicht.
LG
heinze
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> Ich habe leider nicht verstanden wie du das meinst bzw
> [mm]x*x^{-1}[/mm] ist doch 1!
Richtig und das ist gerade der Punkt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Mo 24.06.2013 | | Autor: | heinze |
Gebe es auf, versteh es einfach nicht bzw. sehe nicht was mir das bringen soll.
Aber danke fürs erklären!
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Di 25.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Gebe es auf, versteh es einfach nicht bzw. sehe nicht was
> mir das bringen soll.
> Aber danke fürs erklären!
>
> LG
> heinze
Du hast [mm] \sin(x) [/mm] schin da stehen. Du willst aber [mm] \frac{\sin(x)}{x} [/mm] haben. Daher ergänze im Nenner eine 1, die du durch [mm] x\cdot x^{-1} [/mm] ausdrückst, es gilt also:
[mm] \sin(x)=\frac{\sin(x)}{1}=\frac{\sin(x)}{x\cdot x^{-1}}=\ldots
[/mm]
Vergleiche das mal mit der sicher aus der Mittelstufe bekannten quadratischen Ergänzung, bei der du eine "nahrhafte Null" hinzuaddierst.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:48 Di 25.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe leider nicht verstanden wie du das meinst bzw
> [mm]x*x^{-1}[/mm] ist doch 1!
>
> Sorry, ich sehe es vor Einfachheit grad vermutlich nicht.
Sometree meint mit [mm] a_k:=\bruch{1}{3^k}
[/mm]
[mm] 2^k\cdot{}sin(\bruch{1}{3^k})=2^k*sin(a_k)=2^k*a_k*\bruch{sin(a_k)}{a_k}=(\bruch{2}{3})^k*\bruch{sin(a_k)}{a_k}
[/mm]
FRED
>
>
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Di 25.06.2013 | | Autor: | heinze |
Achso!! Das meine ich ja mit meiner Frage, ob man die 2 mit dem [mm] a_k [/mm] zusammen ziehen kann. Danke, dann ists mir nun klar. Aber was mich verwirrt, die Reihe
[mm] \summe_{k=0}^{\infty }2^k*sin(\bruch{1}{3^k}) [/mm] ist konvergent und
[mm] \summe_{k=0}^{\infty }4^k*sin(\bruch{1}{3^k}) [/mm] nicht.
liegt es daran, dass [mm] \bruch{2}{3} [/mm] <1 ist und [mm] \bruch{4}{3} [/mm] nicht?
LG
heinze
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Hallo heinze,
> Achso!! Das meine ich ja mit meiner Frage, ob man die 2 mit
> dem [mm]a_k[/mm] zusammen ziehen kann. Danke, dann ists mir nun
> klar. Aber was mich verwirrt, die Reihe
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty }2^k*sin(\bruch{1}{3^k})[/mm] ist
> konvergent und
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty }4^k*sin(\bruch{1}{3^k})[/mm] nicht.
>
> liegt es daran, dass [mm]\bruch{2}{3}[/mm] <1 ist und [mm]\bruch{4}{3}[/mm]
> nicht?
So ist es. Aber als Begründung reicht das natürlich alleine noch nicht.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Di 25.06.2013 | | Autor: | heinze |
[mm] |\bruch{sin(\bruch{1}{3^k}}{\bruch{1}{3^k}}|\le [/mm] 2 ist dann auch
[mm] (\bruch{2}{3})^k* |\bruch{sin(\bruch{1}{3^k}}{\bruch{1}{3^k}}|\le [/mm] 2?
Daraus würde ja folgen [mm] (\bruch{2}{3})^k*sin(\bruch{1}{3^k}) \le 2*\bruch{1}{3^k}
[/mm]
Aber damit erhalte ich keine konvergente Folge!
Wo liegt der Fehler?
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Di 25.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]|\bruch{sin(\bruch{1}{3^k}}{\bruch{1}{3^k}}|\le[/mm] 2 ist
> dann auch
>
> [mm](\bruch{2}{3})^k* |\bruch{sin(\bruch{1}{3^k}}{\bruch{1}{3^k}}|\le[/mm]
> 2?
Ja, das stimmt. Aber wozu ?
>
> Daraus würde ja folgen
> [mm](\bruch{2}{3})^k*sin(\bruch{1}{3^k}) \le 2*\bruch{1}{3^k}[/mm]
Wie kommst Du darauf ???
Es folgt:
$ [mm] (\bruch{2}{3})^k\cdot{} |\bruch{sin(\bruch{1}{3^k}}{\bruch{1}{3^k}}|\le [/mm] $ [mm] 2*(\bruch{2}{3})^k
[/mm]
FRED
>
> Aber damit erhalte ich keine konvergente Folge!
>
> Wo liegt der Fehler?
>
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Di 25.06.2013 | | Autor: | heinze |
weil ich davon ausgegangen bin, dass rechts immer [mm] a_k [/mm] stehen muss, so ist es zumindest allgemein im Skript formuliert und [mm] a_k [/mm] war ja hier [mm] \bruch{1}{3^k}.
[/mm]
Die Summe von [mm] 2*(\bruch{2}{3})^k [/mm] geht gegen 2/3 für k gegen unendlich, also ist die Reihe (natürlich noch schön mit Summenzeichen geschrieben ) konvergent.
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Di 25.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Die Summe von [mm]2*(\bruch{2}{3})^k[/mm] geht gegen 2/3 für k
> gegen unendlich, also ist die Reihe (natürlich noch schön
> mit Summenzeichen geschrieben ) konvergent.
>
Wie kommst du denn auf die Idee? das ist sicher falsch.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Do 27.06.2013 | | Autor: | heinze |
Aber wie zeige ich, dass die Reihe [mm] 2*(\bruch{2}{3})^k [/mm] konvergent ist und [mm] 2*(\bruch{4}{3})^k [/mm] nicht?
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Do 27.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Aber wie zeige ich, dass die Reihe [mm]2*(\bruch{2}{3})^k[/mm]
> konvergent ist und [mm]2*(\bruch{4}{3})^k[/mm] nicht?
Ist das die Möglichkeit ?????. Hast Du noch nie etwas von der geometrischen Reihe gehört ?
Ist q [mm] \in \IR, [/mm] so gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}q^k [/mm] ist konvergent [mm] \gdw [/mm] |q|<1
FRED
>
>
> LG
> heinze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Do 27.06.2013 | | Autor: | heinze |
Ja, da war was, sorry, die geometrische Reihe war schon ganz weit weg gerückt in Gedanken. Danke!
LG
heinze
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 Do 27.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ja, da war was, sorry, die geometrische Reihe war schon
> ganz weit weg gerückt in Gedanken. Danke!
Du solltest Koch werden. Aber bitte keine Lebensmittel verwenden
FRED
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>
> LG
> heinze
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