Konvergenz, Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:34 Mo 09.04.2012 | | Autor: | Grischa |
| Aufgabe | Die Folge ([mm]a_{n}[/mm]) sei rekursiv definiert durch
[mm]a_{1}[/mm] = 1;
<span class="math">[mm]a_{n+1} = (\bruch{a_{n}}{2} )^2 + 1[/mm]
Weisen die Die Konvergenz der Folge mit Hilfe des Satzes über monotone, beschränkte Folgen nach.
Hinweis: Man beginne mit dem Nachweis, dass ([mm]a_{n}[/mm]) beschränkt ist. Man zeige die Beschränktheit indem man durch vollständige Induktion beweist, dass <span class="math">[mm]1 \leq a_{n} < 2[/mm] für alle n <span class="math">[mm]\in[/mm] N gilt. Zum Nachweis der Monotonie zeige man anschließend [mm]a_{n+1} \geq a_{n}[/mm] für alle n <span class="math">[mm]\in[/mm]N.</span></span></span>
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Guten Tage und danke um Vorraus für alle, die sich mit der Aufgabe beschäftigen.
Mein Problem fängt leider schon mit dem ersten Ansatz der Aufgabe an.
Es scheitert an der vollständigen Induktion.
Ansatz:
A(1) = 1
A(2) = [mm]1\bruch{1}{4}[/mm]
A(3) = [mm]1\bruch{25}{64}[/mm] stimmt somit...
Beweis durch vollständige Induktion:
I Induktionsanfang
Wir nehmen an (Induktionsannahme), dass für ein festes n mit <span class="math">[mm]1 \leq a_{n} < 2[/mm] die Behauptung gilt.
I Induktionsschritt
wir zeigen, dass auch A(n+1): <span class="math">[mm]a_{(n+1)+1} = (\bruch{a_{n+1}}{2})^2 + 1[/mm] gilt.
Frage: Ist das bis hier überhaupt richtig? Komme leider nicht weiter?!
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Mo 09.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Grischa!
Leider ist überhaupt nicht klar, was genau Du mit Deiner vollständigen Induktion genau zeigen / nachweisen möchtest.
Wenn man es genau nimmt, musst Du zunächst die Monotonie nachweisen.
Das kann man z.B, wenn man sich die Differenz [mm] $a_{n+1}-a_n [/mm] \ = \ ...$ etwas genauer ansieht.
Anschließend geht es zur Beschränktheit. Das kann man dann mittels zweier Induktionen mit [mm] $a_n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 1$ sowie [mm] $a_n [/mm] \ < \ 2$ zeigen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Mi 11.04.2012 | | Autor: | Grischa |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Der Ansatz hat mich weitergebracht!
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