Konvergenz & Reihenwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Mo 19.01.2009 | | Autor: | SirSmoke |
| Aufgabe | Divergiert oder Konvergiert folgende Reihe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k^{k}}{k!}
[/mm]
Man berechne im Falle der Konvergenz den Reihenwert. |
Hallo!
Ich bräuchte bei dieser Teilaufgabe dringend einen Denkanstoß, ich weiß nämlich leider nicht wirklich wie ich bei dieser Aufgabe anfangen soll.
Leider weiß ich momentan noch nicht einmal, wie ich hier sehen soll, ob die Reihe divergent oder konvergent ist.
Vielen Dank.
Liebe Grüße
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Hallo SirSmoke,
> Divergiert oder Konvergiert folgende Reihe:
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> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k^{k}}{k!}[/mm]
>
> Man berechne im Falle der Konvergenz den Reihenwert.
> Hallo!
> Ich bräuchte bei dieser Teilaufgabe dringend einen
> Denkanstoß, ich weiß nämlich leider nicht wirklich wie ich
> bei dieser Aufgabe anfangen soll.
> Leider weiß ich momentan noch nicht einmal, wie ich hier
> sehen soll, ob die Reihe divergent oder konvergent ist.
Na, welche Konvergenzkriterien kennst du denn so?
Hier bietet sich das Quotientenkriterium an, da kürzt sich so ziemlich alles weg. 
Mach' das mal; was ergibt sich?
Divergenz oder Konvergenz?
> Vielen Dank.
>
> Liebe Grüße
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Mo 19.01.2009 | | Autor: | SirSmoke |
Also ich habe mit Hilfe des Quotientenkriteriums rausbekommen, dass diese Reihe divergiert, da ein Ergebnis >1 rauskommt. Liege ich hierbei richtig oder habe ich mich in der Rechnung etwa wo verfranzt?
Vielen Dank für deine Hilfe :)
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Mo 19.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also ich habe mit Hilfe des Quotientenkriteriums
> rausbekommen, dass diese Reihe divergiert, da ein Ergebnis
> >1 rauskommt. Liege ich hierbei richtig oder habe ich mich
> in der Rechnung etwa wo verfranzt?
"da ein Ergebnis >1 rauskommt. "
ist schon richtig. Dennoch könntest Du Dich "verfranzt" haben
Ohne jede Rechnung können wir das nicht sehen
FRED
>
> Vielen Dank für deine Hilfe :)
>
> Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Mo 19.01.2009 | | Autor: | SirSmoke |
[mm] |\bruch{\bruch{(k+1)^{(k+1)}}{(k+1)!}}{\bruch{k^{k}}{k!}}| [/mm] = [mm] \limes |\bruch{k^{k}*k*k!}{(k+1)!+k^{k}}| [/mm] = [mm] \limes |\bruch{2k}{(k+1)}| [/mm] = [mm] \limes |\bruch{k *2}{k*(1+\bruch{1}{k})}| [/mm] = 2 > 1
So habe ich gerechnet ... ich glaube aber, dass etwas nicht stimmt :/
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Hallo nochmal,
> [mm]|\bruch{\bruch{(k+1)^{(k+1)}}{(k+1)!}}{\bruch{k^{k}}{k!}}|[/mm] = [mm]\limes |\bruch{k^{k}*k*k!}{(k+1)!+k^{k}}|[/mm] = [mm]\limes |\bruch{2k}{(k+1)}|[/mm] = [mm]\limes |\bruch{k *2}{k*(1+\bruch{1}{k})}|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 2 > 1
>
> So habe ich gerechnet ... ich glaube aber, dass etwas nicht
> stimmt :/
In der Tat, das ist was oberfaul
Wie kommst du auf den Ausdruck nach dem ersten "="?
$\bruch{\bruch{(k+1)^{(k+1)}}{(k+1)!}}{\bruch{k^{k}}{k!}}=\bruch{(k+1)^{k+1}\cdot{}k!}{(k+1)!\cdot{}k^k$
Nun bedenke, dass $(k+1)^{k+1}=(k+1)\cdot{}(k+1)^k$ ist und dass $(k+1)!=(k+1)\cdot{}k!$
Damit rechne nochmal nach ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Mo 19.01.2009 | | Autor: | SirSmoke |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$ \bruch{\bruch{(k+1)^{(k+1)}}{(k+1)!}}{\bruch{k^{k}}{k!}}=\bruch{(k+1)^{k+1}\cdot{}k!}{(k+1)!\cdot{}k^k $ = \bruch{(k+1)*(k+1)^{k}*k!}{(k+1)*k!*k^{k}} = \bruch{(k+1)^{k}}{k^{k}} = \bruch{k^{k}+2k+1^{k}}{k^{k}} = \bruch{k*(1^{k}+2+\bruch{1}{k}^{k}}{k*(1^{k})} = 2
Ich hoffe mal, ich habe mich nirgenwo vertippt, sollte so jetzt aber stimmen oder?
Besten Dank :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Mo 19.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Mein lieber Herr Gesangsverein !!! Was ist denn das:
" $ [mm] \bruch{(k+1)^{k}}{k^{k}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{k^{k}+2k+1^{k}}{k^{k}} [/mm] $ " ????????????????
Zurück in die Grundschule !
ist Dir klar, was für einen Unfug Du geschrieben hast ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Mo 19.01.2009 | | Autor: | SirSmoke |
oh mein gott!!
Jetzt wo du mich so darauf aufmerksam machst, seh ich auch das Desaster ^^
Ich glaub es wird jetzt endlich mal wieder Zeit für ne Pause, nen Kaffee und eine Zigarette :D
$ [mm] \bruch{(k+1)^{k}}{k^{k}} [/mm] $ = [mm] \bruch{k*(1+\bruch{1}{k})^{k}}{k*1^{k}} [/mm] = [mm] \bruch{1^{k}}{1^{k}} [/mm] = 1
Darf ich das? Also sagen, dass [mm] \bruch{1}{k} [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] gegen 0 geht
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Hallo nochmal,
> oh mein gott!!
> Jetzt wo du mich so darauf aufmerksam machst, seh ich auch
> das Desaster ^^
> Ich glaub es wird jetzt endlich mal wieder Zeit für ne
> Pause, nen Kaffee und eine Zigarette :D
>
> [mm] $\bruch{(k+1)^{k}}{k^{k}}=\bruch{k*(1+\bruch{1}{k})^{k}}{k*1^{k}}= \bruch{1^{k}}{1^{k}} [/mm] = 1$
>
> Darf ich das?
Nein, die Umformung bleibt ein Desaster !
Vielleicht machst du doch besser vor dem Weiterlesen die Pause und trinkst einen großen Pott ![[kaffeetrinker]](/images/smileys/kaffeetrinker.gif "[kaffeetrinker]")
> Also sagen, dass [mm]\bruch{1}{k}[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
> gegen 0 geht
[mm] $(k+1)^k=\left(k\cdot{}\left(1+\frac{1}{k}\right)\right)^k=k^k\cdot{}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k$
[/mm]
Nun kannst du die [mm] k^k [/mm] gegeneinander kürzen, es bleibt [mm] $\left(1+\frac{1}{k}\right)^k$
[/mm]
Das strebt für [mm] $k\to\infty$ [/mm] nun gegen ... ?
Alternativ elementare Bruchrechnung: [mm] $\frac{(k+1)^k}{k^k}=\left(\frac{k+1}{k}\right)^k=\left(1+\frac{1}{k}\right)^k$ [/mm] ...
Und wieder die Grenzwertbetrachtung [mm] k\to\infty
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Mo 19.01.2009 | | Autor: | SirSmoke |
Besten Dank für eure Geduld :)
Ja, also muss sagen, so macht das auch durchaus Sinn ^^
$ [mm] \left(1+\frac{1}{k}\right)^k [/mm] $ strebt für $ [mm] k\to\infty [/mm] $ nun gegen 1, da [mm] \frac{1}{k} [/mm] gegen 0 geht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Mo 19.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Mann oh Mann, das ist aber mühsam !!
$ [mm] \left(1+\frac{1}{k}\right)^k [/mm] $ strebt für $ [mm] k\to\infty [/mm] $ gegen $e$
Schon mal was davon gehört ? (vielleicht hättest Du eine ganze Packung rauchen sollen)
FRED
(auch ein Raucher)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Mo 19.01.2009 | | Autor: | SirSmoke |
gut möglich, dass es mühsam ist ... zum Spaß vertreibe ich mir meine Zeit momentan sicherlich nicht mit Mathe ...
Und nein, leider hab ich es nicht direkt parat, dass
$ [mm] \left(1+\frac{1}{k}\right)^k [/mm] $ für $ [mm] k\to\infty [/mm] $ gegen $ e $ strebt, trotzdem Dankeschön!
Jedenfalls heißt das, dass die Funktion divergiert und die Aufgabe erledigt ist ...
Besten Dank an euch beide!
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Hallo nochmal,
> gut möglich, dass es mühsam ist ... zum Spaß vertreibe ich
> mir meine Zeit momentan sicherlich nicht mit Mathe ...
> Und nein, leider hab ich es nicht direkt parat, dass
> [mm]\left(1+\frac{1}{k}\right)^k[/mm] für [mm]k\to\infty[/mm] gegen [mm]e[/mm]
> strebt,
Das solltest du dir für die Zukunft unbedingt merken, das taucht an allen Ecken und Kanten wieder und wieder auf
> trotzdem Dankeschön!
>
> Jedenfalls heißt das, dass die Funktion Reihe divergiert und die Aufgabe erledigt ist ... ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Besten Dank an euch beide!
LG
schachuzipus
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> Besten Dank für eure Geduld :)
> Ja, also muss sagen, so macht das auch durchaus Sinn ^^
>
> [mm]\left(1+\frac{1}{k}\right)^k[/mm] strebt für [mm]k\to\infty[/mm] nun
> gegen 1, da [mm]\frac{1}{k}[/mm] gegen 0 geht.
Ich hab's ja geahnt oder befürchtet, oh wei oh wei.
Du solltest echt ab und an ins Skript schauen!!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Lorence |
Also divergiert die Reihe, da [mm] e^1 [/mm] > 1 ist? Nur nochmal zur Sicherheit, [mm] e^1 [/mm] ist nicht der Grenzwert der Reihe, oder?
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Hallo Lorence!
> Also divergiert die Reihe, da [mm]e^1[/mm] > 1 ist?
Richtig erkannt!
> Nur nochmal zur Sicherheit, [mm]e^1[/mm] ist nicht der Grenzwert der
> Reihe, oder?
Nein, das ist nicht der Grenzwert der Reihe. Kann es auch gar nicht, da wir je soeben festgestellt haben, dass die Reihe divergiert; sprich: gar keinen Grenzwert hat.
Gruß vom
Roadrunner
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