Konvergenz Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:12 Di 15.05.2007 | | Autor: | D-C |
| Aufgabe | Prüfe , ob folgende Reihen konvergent sind :
a)
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n((1-(-1)^n)^{(-1)^n})^n
[/mm]
b)
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3*(n+5)^7}{7*5^n+3}
[/mm]
c)
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2*n²-2}{3*n^3+3}
[/mm]
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Hallo
a) hab ich noch keine idee
b) hab ich angefangen mit:
b) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3*(n+5)^7}{7*5^3+5^n}
[/mm]
= [mm] \bruch{3}{7*5^3} \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(n+5)^7}{5^n}
[/mm]
jetzt weiß ich aber nicht weiter
c) = [mm] \bruch{2}{3} \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n²-2}{n^3+3}
[/mm]
auch hier hänge ich irgendwie fest
Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen.
Gruß
D-C
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 Di 15.05.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
würde das Quotientenkriterium anwenden:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\vmat{ \bruch{a_{n+1}}{a_n} }
[/mm]
zur c)
> c) = [mm]\bruch{2}{3} \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n²-2}{n^3+3}[/mm]
>
Ist das nicht:
[mm]\bruch{2}{3} \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n²-1}{n^3+1}[/mm]
MfG
barsch
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Hallo D-C,
ergänzend zu barsch:
bei (a) würde ich erstmal prüfen, ob dieser fiese [mm] (-1)^{...} [/mm] Ausdruck ne Nullfolge ist
bei (c) ist deine Umformung falsch - s. bei barsch
Schätze die - richtig umgeformte - Reihe gegen eine divergente Minorante ab.
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
wenn ich das richtig sehe, ist bei der ersten Reihe jedes Reihenglied für gerades n = Null, oder?
Und für ungerades müsste das doch die Form [mm] \left(-\frac{1}{2}\right)^{2k-1} [/mm] haben, man könnte die Reihe also auch schreiben als
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^{2k-1}$
[/mm]
Vllt. kann man das besser verarzten - mit dem QK oder WK zB.?
Aber das sind nur Überlegungen und Anregungen - ohne Gewähr 
Vllt. hilft's was
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:02 Mi 16.05.2007 | | Autor: | D-C |
Hallo,
Kenne mich mit den Kriterien noch nicht so gut aus, vor allem, wann ich welches verwenden soll... Hab das Quotientenkriterium mal versucht anzufangen bei b)
mit [mm] a_{n} [/mm] := [mm] \bruch{(n+5)^7}{5^n} [/mm]
| [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] |
= [mm] \bruch{(n+6)^7*5^n}{5^{n+1}*(n+5)^7}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{5} [/mm] (1+ [mm] \bruch{6}{n+5})^{7}
[/mm]
c) Stimmt die Umformung muss natürlich
[mm] \bruch{2}{3} \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n²-1}{n^3+1}
[/mm]
heißen.
Aber was genau meinst Du mit "Reihe gegen eine divergente Minorante abschätzen" ?
Gruß
D-C
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> Kenne mich mit den Kriterien noch nicht so gut aus, vor
> allem, wann ich welches verwenden soll... Hab das
> Quotientenkriterium mal versucht anzufangen bei b)
>
> mit [mm]a_{n}[/mm] := [mm]\bruch{(n+5)^7}{5^n}[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Wie kommst du auf dieses [mm] a_n?
[/mm]
>
> | [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] |
>
> = [mm]\bruch{(n+6)^7*5^n}{5^{n+1}*(n+5)^7}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{5}[/mm] (1+ [mm]\bruch{6}{n+5})^{7}[/mm]
Die Reihe lautet doch [mm] \sum\frac{3(n+5)^7}{7\cdot{}5^n+3}
[/mm]
Da kannst du [mm] \frac{3}{7} [/mm] rausziehen: [mm] ...=\frac{3}{7}\sum\frac{(n+5)^7}{5^n+\frac{3}{7}}
[/mm]
Versuch ab hier, also mit [mm] a_n=\frac{(n+5)^7}{5^n+\frac{3}{7}} [/mm] nochmal das QK
> c) Stimmt die Umformung muss natürlich
>
> [mm]\bruch{2}{3} \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n²-1}{n^3+1}[/mm]
>
>
> heißen.
>
> Aber was genau meinst Du mit "Reihe gegen eine divergente
> Minorante abschätzen" ?
Die Reihe so abschätzen, dass du eine kleinere Reihe findest, die divergent ist. Damit wäre "deine" Reihe als größere erst recht divergent.
[mm] \bruch{2}{3} \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n²-1}{n^3+1}>\bruch{2}{3} \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n²-1}{2n^3}>\bruch{2}{3} \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n²-n}{2n^3}=\frac{1}{3}\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n-1}{n^2}
[/mm]
und das Biest divergiert
> Gruß
>
> D-C
Gruß zurück und gute N8
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:36 Mi 16.05.2007 | | Autor: | D-C |
Ich wieder...,
[mm] a_n [/mm] =
[mm] \bruch{(n+5)^7}{5^n+3/7}
[/mm]
| [mm] \bruch{a_n+1}{a_n} [/mm] |
= [mm] \bruch{(n+6)^7 * (5^n+ 3/7)}{(5^{n+1}+ 3/7) * (n+5)^7}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{5} [/mm] + [mm] \bruch{3}{7} [/mm] ( 1 + ( [mm] \bruch{6}{n+5})^7
[/mm]
zu der a) hatte ich möglicherweise noch eine Idee...
Ist es nicht so, dass die [mm] (-1)^n [/mm] am anfang mit dem Rest nach dem Leibniz-Kriterium eine alternierende Reihe ist? wenn dann die [mm] a_n [/mm] gegen 0 konvergieren würden, würde doch auch die Reihe konvergieren, oder?
Soweit erstmal... n8 
Gruß
D-C
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Just for info: Habe zu c) mal das QK angewendet und als Ergebnis 1 bekommen, also kann man das QK für diese Reihe mal nicht anwenden.
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Hallo mtu,
ja da hste recht, das QK hilft leider nicht, m.E. ist die Reihe divergent.
Man muss sich also ein anderes Kriterium hernehmen, da würde ich ne Abschätzung gegen eine divergente Minorante versuchen, also das Vergleichskriterium hernehmen
(s.oben)
Gruß
schachuzipus
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