Konvergenz Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Sa 08.12.2012 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Folge [mm] (a_{k})_{k \in \IN}, [/mm] wobei für k [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] a_{2k}:=(\bruch{1}{3})^{k}
[/mm]
[mm] a_{2k-1}:=(\bruch{1}{2})^{k}
[/mm]
Zeigen Sie mit Hilfe des Wurzelkriteriums, dass [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{k} [/mm] konvergiert. Was liefert das Quotientenkriterium? |
Hey,
bin mir unschlüssig über meine Lösung und den Lösungsweg, weshalb ich ihn hier poste und hoffe, dass mir jemand was dazu sagen kann.
Lösung:
Betrachtung Folgenglieder, wo bei [mm] a_{2k} [/mm] die geraden und [mm] a_{2k-1} [/mm] die ungeraden Folgengleider liefert.
[mm] a_{1}=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] a_{2}=\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] a_{3}=\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] a_{4}=\bruch{1}{9}
[/mm]
.
.
.
[mm] a_{9}=\bruch{1}{32}
[/mm]
[mm] a_{10}=\bruch{1}{243}
[/mm]
Da eine Reihe als Folge der Partialsummen definiert ist, dachte ich mir:
[mm] s_{n}=a_{1}+...+a_{10}=\summe_{k=1}^{\infty} a_{k}
[/mm]
wobei
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{k}=\summe_{k=1}^{\infty} (a_{2k}+a_{2k-1})=\summe_{k=1}^{\infty} a_{2k}+\summe_{k=1}^{\infty} a_{2k-1}
[/mm]
(gilt nach dem Satz über die Summe von konvergenten Reihen)
Nun ist also zu zeigen, dass [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{2k} [/mm] und [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{2k-1} [/mm] konvergieren.
Mit dem Wurzelkriterium stellt dies kein Problem dar, denn
[mm] q=\limes_{k\rightarrow\infty} sup\wurzel[k]{|a_{2k}|}=\wurzel[k]{|(\bruch{1}{3})^{k}|}=\bruch{1}{3} [/mm] < 1 und damit absolut konvergent
[mm] q=\limes_{k\rightarrow\infty} sup\wurzel[k]{|a_{2k-1}|}=\wurzel[k]{|(\bruch{1}{2})^{k}|}=\bruch{1}{2} [/mm] < 1 und damit absolut konvergent
Also ist auch [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{k} [/mm] konvergent.
Das Quotentenkriterium verwirrt mich allerdings, da
Für [mm] a_{2k}
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] |\bruch{a_{2k+1}}{a_{2k}}|
[/mm]
Nun ist [mm] a_{2k+1} [/mm] doch nichts anderes als [mm] a_{2k-1}, [/mm] also jetzt werden doch auch die ungeraden Folgenglieder angesprochen... Muss ich jetzt [mm] (\bruch{1}{2})^{k} [/mm] einsetzen oder doch [mm] (\bruch{1}{3})^{k+1}.
[/mm]
Weiß jemand Rat?
Silfide
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo silfide,
> Betrachten Sie die Folge [mm](a_{k})_{k \in \IN},[/mm] wobei für k
> [mm]\in \IN:[/mm]
>
> [mm]a_{2k}:=(\bruch{1}{3})^{k}[/mm]
> [mm]a_{2k-1}:=(\bruch{1}{2})^{k}[/mm]
>
> Zeigen Sie mit Hilfe des Wurzelkriteriums, dass
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_{k}[/mm] konvergiert. Was liefert das
> Quotientenkriterium?
>
> Das Quotentenkriterium verwirrt mich allerdings, da
>
> Für [mm]a_{2k}[/mm]
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm]|\bruch{a_{2k+1}}{a_{2k}}|[/mm]
>
> Nun ist [mm]a_{2k+1}[/mm] doch nichts anderes als [mm]a_{2k-1},[/mm] also
> jetzt werden doch auch die ungeraden Folgenglieder
> angesprochen... Muss ich jetzt [mm](\bruch{1}{2})^{k}[/mm] einsetzen
> oder doch [mm](\bruch{1}{3})^{k+1}.[/mm]
Keins von beiden, denn es ist [mm] $a_{2k+1} [/mm] = [mm] a_{2(k+1)-1} [/mm] = [mm] \left( \frac 1 2\right)^{k+1}\,.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Sa 08.12.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Wolfgang,
> > Für [mm]a_{2k}[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm]|\bruch{a_{2k+1}}{a_{2k}}|[/mm]
> >
> > Nun ist [mm]a_{2k+1}[/mm] doch nichts anderes als [mm]a_{2k-1},[/mm] also
> > jetzt werden doch auch die ungeraden Folgenglieder
> > angesprochen... Muss ich jetzt [mm](\bruch{1}{2})^{k}[/mm] einsetzen
> > oder doch [mm](\bruch{1}{3})^{k+1}.[/mm]
>
> Keins von beiden, denn es ist [mm]a_{2k+1} = a_{2(k+1)-1} = \left( \frac 1 2\right)^{k+1}\,.[/mm]
Kapiere ich nicht! Wie kommst du darauf??
Es geht ja um die Folge [mm] a_{2k}=(\bruch{1}{3}){k}
[/mm]
Warum ist dann [mm] a_{2k+1} [/mm] = [mm] a_{2(k+1)-1} [/mm] ??
> Gruß,
> Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo Wolfgang,
>
>
> > > Für [mm]a_{2k}[/mm]
> > >
> > > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm]|\bruch{a_{2k+1}}{a_{2k}}|[/mm]
> > >
> > > Nun ist [mm]a_{2k+1}[/mm] doch nichts anderes als [mm]a_{2k-1},[/mm] also
> > > jetzt werden doch auch die ungeraden Folgenglieder
> > > angesprochen... Muss ich jetzt [mm](\bruch{1}{2})^{k}[/mm] einsetzen
> > > oder doch [mm](\bruch{1}{3})^{k+1}.[/mm]
> >
> > Keins von beiden, denn es ist [mm]a_{2k+1} = a_{2(k+1)-1} = \left( \frac 1 2\right)^{k+1}\,.[/mm]
>
> Kapiere ich nicht! Wie kommst du darauf??
> Es geht ja um die Folge [mm]a_{2k}=(\bruch{1}{3}){k}[/mm]
Nein. Du wolltest wissen, was [mm] $a_{2k+1}$ [/mm] ist. Es geht also um die Folgenglieder mit ungeraden Indizes.
> Warum ist dann [mm]a_{2k+1}[/mm] = [mm]a_{2(k+1)-1}[/mm] ??
Weil die Indizes übereinstimmen. Einfach ausmultiplizieren.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Sa 08.12.2012 | | Autor: | silfide |
> > Hallo Wolfgang,
> >
> >
> > > > Für [mm]a_{2k}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm]|\bruch{a_{2k+1}}{a_{2k}}|[/mm]
> > > >
> > > > Nun ist [mm]a_{2k+1}[/mm] doch nichts anderes als [mm]a_{2k-1},[/mm] also
> > > > jetzt werden doch auch die ungeraden Folgenglieder
> > > > angesprochen... Muss ich jetzt [mm](\bruch{1}{2})^{k}[/mm] einsetzen
> > > > oder doch [mm](\bruch{1}{3})^{k+1}.[/mm]
> > >
> > > Keins von beiden, denn es ist [mm]a_{2k+1} = a_{2(k+1)-1} = \left( \frac 1 2\right)^{k+1}\,.[/mm]
>
> >
> > Kapiere ich nicht! Wie kommst du darauf??
> > Es geht ja um die Folge [mm]a_{2k}=(\bruch{1}{3}){k}[/mm]
>
> Nein. Du wolltest wissen, was [mm]a_{2k+1}[/mm] ist. Es geht also um
> die Folgenglieder mit ungeraden Indizes.
>
> > Warum ist dann [mm]a_{2k+1}[/mm] = [mm]a_{2(k+1)-1}[/mm] ??
>
> Weil die Indizes übereinstimmen. Einfach
> ausmultiplizieren.
Okay... wenn ich es ausmultipliziere, stimmt es überein...
Aber nun bin ich am Überlegen, ob ich nicht
> > > > Für [mm]a_{2k}[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] [/mm] sup [mm]|\bruch{a_{2(k+1)}}{a_{2k}}|[/mm]
betrachten muss... also ob ich eventuell schon wieder nicht auf die Kontraposition geachtet habe...??
Silfide
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Okay... wenn ich es ausmultipliziere, stimmt es
> überein...
> Aber nun bin ich am Überlegen, ob ich nicht
> > > > > Für [mm]a_{2k}[/mm]
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm][/mm] sup
> [mm]|\bruch{a_{2(k+1)}}{a_{2k}}|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> betrachten muss... also ob ich eventuell schon wieder
> nicht auf die Kontraposition geachtet habe...??
?? Nein, mußt Du nicht. Wir müssen nur die Quotienten benachbarter Folgenglieder betrachten. Weil die Folgenglieder für gerade und ungerade Indizes unterschiedlich definiert wurden, haben wir es hier mit zwei Quotienten zu tun, nämlich
einmal mit $\frac {a_{2k+1}} {a_{2k}}$ und einmal mit $\frac {a_{2k}} {a_{2k-1}\,.$
Und jetzt setze einfach die Terme aus der Folgendefinition ganz stur ein und untersuche die $\limsup$ für jede der beiden Quotientenfolgen.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Sa 08.12.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Wolfgang,
Habe das jetzt mal für [mm]\frac {a_{2k+1}} {a_{2k}}[/mm] gemacht.
Also:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] |\bruch{a_{2k+1}}{a_{2k}}|=
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] |\bruch{a_{2(k-1)+1}}{a_{2k}}|=
[/mm]
[mm] |\bruch{(\bruch{1}{2})^{k+1}}{(\bruch{1}{3})^{k}}|=\bruch{1}{2}*|\bruch{3^{k}}{2^{k}}| \to \infty [/mm] > 1 Daraus folgt, dass die Reihe divergent ist.
Mmmhhh, habe ich jetzt irgendwo ein Fehler gemacht, oder warum ist das so??
Silfide
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo Wolfgang,
>
> Habe das jetzt mal für [mm]\frac {a_{2k+1}} {a_{2k}}[/mm]
> gemacht.
>
> Also:
>
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] sup
> [mm]|\bruch{a_{2k+1}}{a_{2k}}|=[/mm]
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] sup
> [mm]|\bruch{a_{2(k-1)+1}}{a_{2k}}|=[/mm]
>
> [mm]|\bruch{(\bruch{1}{2})^{k+1}}{(\bruch{1}{3})^{k}}|=\bruch{1}{2}*|\bruch{3^{k}}{2^{k}}| \to \infty[/mm]
> > 1 Daraus folgt, dass die Reihe divergent ist.
Das kann ja nicht sein, schließlich hast Du mit dem Wurzelkriterium schon die Konvergenz der Reihe nachgewiesen! Bestenfalls können wir sagen, daß wir mit dem QK die Konvergenz nicht nachweisen können, denn dazu müßte [mm] $\limsup$ [/mm] der Quotientenfolge kleiner 1 sein. Und Du hast richtig nachgewiesen, daß dem nicht so ist.
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:45 Sa 08.12.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Wolfgang,
danke für deine Hilfe!!
Silfide
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