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| Aufgabe | Untersuche das Konvergenzverhalten der Reihe [mm] \summe_{n\ge1}^{} a_n, [/mm] in der [mm] a_n [/mm] einen der folgenden Werte hat:
a) [mm] \bruch{a^{n}}{1+a^{n}} [/mm] a>0
b) [mm] \bruch{n^{a}}{n!} [/mm] mit [mm] a\in\IQ [/mm]
c) [mm] (\wurzel[n]{n}-1)^{2} [/mm] |
Hallo allerseits.
Mir ist aufgefallen, dass ich noch einige Unsicherheiten habe.
a) Hier bin ich mir der Richtigkeit relativ sicher, trotzdem:
Mit dem Wurzelkriterium erhalte ich:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup\wurzel[n]{|\bruch{a^{n}}{1+a^{n}}|}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}sup\bruch{a}{\wurzel[n]{1+a^{n}}}=a [/mm]
weil [mm] 1<\wurzel[n]{1+a^{n}}<\wurzel[n]{2a^{n}}=\wurzel[n]{a^{n}}\wurzel[n]{2}\to1 [/mm] für [mm] n\to\infty
[/mm]
also folgt die Konvergenz für a<1 und Divergenz für [mm] a\ge1
[/mm]
b) In der Lösung steht nur, dass die Konvergenz aus dem Quotientenkriterium folgt. Ich habe das nicht hinbekommen, sondern mit dem Wurzelkriterium versucht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup\wurzel[n]{|\bruch{n^{a}}{n!}|}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}sup\bruch{\wurzel[n]{n}^{a}}{\wurzel[n]{n!}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}sup\bruch{1}{\wurzel[n]{n!}}=0 [/mm]
Darauf folgt absolute Konvergenz
c) Im Buch stand hier eine Abschätzung die ich mir nicht herleiten konnte. Ich habe es so gemacht:
Majorantenkriterium
[mm] (\wurzel[n]{n}-1)^{2}=\wurzel[n]{n}^{2}-2\wurzel[n]{n}+1<\wurzel[n]{n}^{2}-2\wurzel[n]{n}+2\wurzel[n]{n}=\wurzel[n]{n}^{2}=\wurzel[n]{n}\wurzel[n]{n}\to [/mm] 1*1=1
Die Frage ist, ob dieses "<" erlaubt ist, bzw. ob das für [mm] n\to\infty [/mm] immer noch Wirkung hat?
Grüße, kulli
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Hallo kullinarisch,
> Untersuche das Konvergenzverhalten der Reihe
> [mm]\summe_{n\ge1}^{} a_n,[/mm] in der [mm]a_n[/mm] einen der folgenden Werte
> hat:
>
> a) [mm]\bruch{a^{n}}{1+a^{n}}[/mm] a>0
>
> b) [mm]\bruch{n^{a}}{n!}[/mm] mit [mm]a\in\IQ[/mm]
>
> c) [mm](\wurzel[n]{n}-1)^{2}[/mm]
> Hallo allerseits.
>
> Mir ist aufgefallen, dass ich noch einige Unsicherheiten
> habe.
>
> a) Hier bin ich mir der Richtigkeit relativ sicher,
> trotzdem:
>
> Mit dem Wurzelkriterium erhalte ich:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}sup\wurzel[n]{|\bruch{a^{n}}{1+a^{n}}|}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}sup\bruch{a}{\wurzel[n]{1+a^{n}}}=a[/mm]
>
> weil
> [mm]1<\wurzel[n]{1+a^{n}}<\wurzel[n]{2a^{n}}[/mm]
Hmm, die letzte Abschätzung gilt doch nicht für [mm] $0
> [mm] =\wurzel[n]{a^{n}}\wurzel[n]{2}\to [/mm] 1 für [mm]n\to\infty[/mm]
>
> also folgt die Konvergenz für a<1 und Divergenz für
> [mm]a\ge1[/mm]
>
> b) In der Lösung steht nur, dass die Konvergenz aus dem
> Quotientenkriterium folgt. Ich habe das nicht hinbekommen,
Schade, damit kürzen sich doch die Fakultäten weitestgehend weg:
[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{a}}{(n+1)!}\cdot{}\frac{n!}{n^{a}}=\frac{1}{n+1}\cdot{}\left(1+1/n\right)^{a}$
[/mm]
Was treibt das für [mm] $n\to\infty$ [/mm] ?
> sondern mit dem Wurzelkriterium versucht:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}sup\wurzel[n]{|\bruch{n^{a}}{n!}|}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}sup\bruch{\wurzel[n]{n}^{a}}{\wurzel[n]{n!}}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}sup\bruch{1}{\wurzel[n]{n!}}=0[/mm]
Hier müsstest du zumindest kurz begründen, wieso denn [mm] $\sqrt[n]{n!}$ [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] geht für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
>
> Darauf folgt absolute Konvergenz
>
> c) Im Buch stand hier eine Abschätzung die ich mir nicht
> herleiten konnte. Ich habe es so gemacht:
>
> Majorantenkriterium
>
> [mm](\wurzel[n]{n}-1)^{2}=\wurzel[n]{n}^{2}-2\wurzel[n]{n}+1<\wurzel[n]{n}^{2}-2\wurzel[n]{n}+2\wurzel[n]{n}=\wurzel[n]{n}^{2}=\wurzel[n]{n}\wurzel[n]{n}\to[/mm]
> 1*1=1
>
> Die Frage ist, ob dieses "<" erlaubt ist, bzw. ob das für
> [mm]n\to\infty[/mm] immer noch Wirkung hat?
Hier bildet dann aber doch die Folge der Reihenglieder keine Nullfolge mehr, die Reihe [mm] $\sum \sqrt[n]{n}^2$ [/mm] divergiert also
Du hast damit gegen eine divergente Majorante abgeschätzt, das hilft dir nix ...
>
> Grüße, kulli
>
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> Hallo kullinarisch,
>
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> > Untersuche das Konvergenzverhalten der Reihe
> > [mm]\summe_{n\ge1}^{} a_n,[/mm] in der [mm]a_n[/mm] einen der folgenden Werte
> > hat:
> >
> > a) [mm]\bruch{a^{n}}{1+a^{n}}[/mm] a>0
> >
> > b) [mm]\bruch{n^{a}}{n!}[/mm] mit [mm]a\in\IQ[/mm]
> >
> > c) [mm](\wurzel[n]{n}-1)^{2}[/mm]
> > Hallo allerseits.
> >
> > Mir ist aufgefallen, dass ich noch einige Unsicherheiten
> > habe.
> >
> > a) Hier bin ich mir der Richtigkeit relativ sicher,
> > trotzdem:
> >
> > Mit dem Wurzelkriterium erhalte ich:
> >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}sup\wurzel[n]{|\bruch{a^{n}}{1+a^{n}}|}[/mm]
> >
> >
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}sup\bruch{a}{\wurzel[n]{1+a^{n}}}=a[/mm]
> >
> > weil
> > [mm]1<\wurzel[n]{1+a^{n}}<\wurzel[n]{2a^{n}}[/mm]
>
> Hmm, die letzte Abschätzung gilt doch nicht für [mm]0
> ...
hm stimmt.. Aber wenn ich 2 Fälle betrachte:
0<a<1 dann [mm] 1<\wurzel[n]{1+a^{n}}<\wurzel[n]{2}\to1 [/mm] für [mm] n\to\infty
[/mm]
und für a>1 gilt dann obige Abschätzung
> > [mm]=\wurzel[n]{a^{n}}\wurzel[n]{2}\to[/mm] 1 für [mm]n\to\infty[/mm]
> >
> > also folgt die Konvergenz für a<1 und Divergenz für
> > [mm]a\ge1[/mm]
> >
> > b) In der Lösung steht nur, dass die Konvergenz aus dem
> > Quotientenkriterium folgt. Ich habe das nicht hinbekommen,
>
> Schade, damit kürzen sich doch die Fakultäten
> weitestgehend weg:
>
> [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{a}}{(n+1)!}\cdot{}\frac{n!}{n^{a}}=\frac{1}{n+1}\cdot{}\left(1+1/n\right)^{a}[/mm]
>
> Was treibt das für [mm]n\to\infty[/mm] ?
Nullfolge mal beschränkte Folge, sollte gegen 0 gehen!
> > sondern mit dem Wurzelkriterium versucht:
> >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}sup\wurzel[n]{|\bruch{n^{a}}{n!}|}[/mm]
> >
> >
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}sup\bruch{\wurzel[n]{n}^{a}}{\wurzel[n]{n!}}[/mm]
> >
> > [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}sup\bruch{1}{\wurzel[n]{n!}}=0[/mm]
>
> Hier müsstest du zumindest kurz begründen, wieso denn
> [mm]\sqrt[n]{n!}[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] geht für [mm]n\to\infty[/mm]
>
> >
> > Darauf folgt absolute Konvergenz
> >
> > c) Im Buch stand hier eine Abschätzung die ich mir nicht
> > herleiten konnte. Ich habe es so gemacht:
> >
> > Majorantenkriterium
> >
> >
> [mm](\wurzel[n]{n}-1)^{2}=\wurzel[n]{n}^{2}-2\wurzel[n]{n}+1<\wurzel[n]{n}^{2}-2\wurzel[n]{n}+2\wurzel[n]{n}=\wurzel[n]{n}^{2}=\wurzel[n]{n}\wurzel[n]{n}\to[/mm]
> > 1*1=1
> >
> > Die Frage ist, ob dieses "<" erlaubt ist, bzw. ob das für
> > [mm]n\to\infty[/mm] immer noch Wirkung hat?
>
> Hier bildet dann aber doch die Folge der Reihenglieder
> keine Nullfolge mehr, die Reihe [mm]\sum \sqrt[n]{n}^2[/mm]
> divergiert also
>
> Du hast damit gegen eine divergente Majorante abgeschätzt,
> das hilft dir nix ...
verdammt! Also im Buch stand die Abschätzung [mm] (\wurzel[n]{n}-1)^{2}\le10n^{-\bruch{4}{3}} [/mm]
Dann muss ich wohl nochmal weiter suchen, vielleicht finde ich ja noch eine andere.
Danke fürs drüber schauen!
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> > Grüße, kulli
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