Konvergenz Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Do 05.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Also ich hab die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel{n^{4}+1}-n^{2})
[/mm]
und soll diese auf Konvergenz untersuchen.
Erstmal kann ich die Reihe ja auch so schreiben.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(n^{4}+1)^{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
dann ist
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(n^{4}+1)^{\bruch{1}{2}}} \ge \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{4}+1}
[/mm]
somit habe ich doch eine divergente Minorante gefunden oder=?
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> Also ich hab die Reihe
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel{n^{4}+1}-n^{2})[/mm]
>
> und soll diese auf Konvergenz untersuchen.
> Erstmal kann ich die Reihe ja auch so schreiben.
hallo,
sicher, dass du das kannst? rechne nochmal und schätze dann ab [mm] \frac{1}{\sqrt{n^4+1}+n^2}\le\frac{1}{n^2+n^2}=...
[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(n^{4}+1)^{\bruch{1}{2}}}[/mm]
>
> dann ist
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(n^{4}+1)^{\bruch{1}{2}}} \ge \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{4}+1}[/mm]
>
> somit habe ich doch eine divergente Minorante gefunden
> oder=?
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Do 05.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Also nach meiner Rechnung kann ich das :-D. Ich hab es so gemacht ->
[mm] a_{n}=\wurzel{n^{4}+1}-n^{2}
[/mm]
[mm] =(\wurzel{n^{4}+1}-n^{2}) [/mm] * [mm] \bruch{(\wurzel{n^{4}+1}+n^{2})}{(\wurzel{n^{4}+1}+n^{2})}
[/mm]
[mm] =\bruch{n^{4}+1-n^{4}}{\wurzel{n^{4}+1}+n^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{n^{4}+1}+n^{2}}
[/mm]
oh ich sehe grade, ich hab das [mm] n^{2} [/mm] vergessen :-(
Also würde ich einfach das [mm] n^{2} [/mm] weglassen und hätte dann eine konvergente Majorante.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(n^{4}+1)^{\bruch{1}{2}}+n^{2}} \le [/mm] $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(n^{4}+1)^{\bruch{1}{2}}} [/mm] $
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Hallo,
das sieht mir jetzt alles richtig aus. Nur gäbe es da noch eine viieeel schönere Majorante, die etwas mit einem gewissen Leibniz und mit der Zahl [mm] \pi^2/6 [/mm] zu tun hat. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Do 05.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Da komm ich nicht drauf. Wie würde die denn dann aussehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 Do 05.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo al3pou!
Diophant spielt hier auf die (konvergente) Reihe [mm] $\summe\bruch{1}{n^2}$ [/mm] an.
Gegen diese würde ich auch eher abschätzen, da der Reihe [mm] $\summe\bruch{1}{\wurzel{n^4+1}}$ [/mm] mit seiner Konvergenzeigenschaft nicht zu den "Standard"-Reihen gehört.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Do 05.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Achsooooo.
und wie würde ich das dann mit der Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(1+\wurzel{1-\bruch{1}{n}})}
[/mm]
machen?
Dann müsste diese Reihe doch auch eine konvergente Majorante in Form von
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}}
[/mm]
haben oder?
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Hallo al3pou,
das ist eine neue Aufgabe. Ich stelle die innerhalb des Threads gleich mal um, dann kann man es besser verfolgen. Achte darauf, an welchen Beitrag Du eine neue Frage hängst, dann wird der "Baum" übersichtlicher und man findet sich leichter zurecht.
> und wie würde ich das dann mit der Reihe
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(1+\wurzel{1-\bruch{1}{n}})}[/mm]
>
> machen?
> Dann müsste diese Reihe doch auch eine konvergente
> Majorante in Form von
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}}[/mm]
>
> haben oder?
Leider nicht. Du findest aber recht leicht eine divergente Minorante, wenn Du Dir klarmachst, was das Klammergetöse eigentlich so treibt. Für n=1 gibt die komplette Klammer den Wert 1, und für [mm] n\to\infty [/mm] geht sie gegen 2.
Also ist [mm] 1\le\left(1+\wurzel{1-\bruch{1}{n}}\right)<2.
[/mm]
Jetzt Du.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Do 05.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Okay, dann pass ich nächstes mal mehr auf.
Auf eine divergente Minorante komme ich nicht. Die Folge geht doch für n [mm] \to \infty [/mm] gegen 0. Für n=1 hätte sie den Wert 1 und für n [mm] \to \infty [/mm] würde sie wie gesagt, gegen 0 gehen. Also könnte ich das ganze doch über eine konvergente Majorante abschätzen und diese wäre diesesmal
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}
[/mm]
oder nicht?
Auch wenn das Klammerzeug gegen 2 strebt für n [mm] \to \infty [/mm] dann geht der Nenner nur gegen 2* [mm] \infty [/mm] und n geht doch langsamer gegen [mm] \infty [/mm] und folglich gegen 0. Ergo müsste das eine konvergente Majorante sein.
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Hallo nochmal,
die ![[]](/images/popup.gif) harmonische Reihe sollte man kennen. Sie ist divergent.
Du hast also eine divergente Majorante gefunden. Das sagt leider nichts aus.
Allerdings ist logischerweise auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a}{n}=a\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] für alle [mm] a\not=0 [/mm] divergent.
Damit solltest Du leicht eine divergente Minorante finden können.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Do 05.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Ich komme nicht drauf. Nach dem was du geschrieben hast, müsste ich durch einen Vorfaktor alles so drehen, dass meine divergente Minorante anders verläuft, aber ich wüsste nicht wie. Ich denke die ganze zeit drüber nach, dass ganze einfach mal 2 zu nehmen, aber warum und wieso ich das machen will, weiß ich nicht.
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Hallo,
das Problem bei den Minoranten (das wird gerne übersehen) ist ja, dass du hier eine Reihe benötigst, die
a) divergent
und für die
b) fast alle Glieder kleiner sind als die der betrachteten Reihe. (Fast alle ist hier im üblichen Sprachgebrauch der Analysis zu verstehen.).
Als Reihenglied hast du
[mm] a_n=1/(n*(1+\wurzel{1-1/n})
[/mm]
Und hierzu kannst du mit dem vorigen Tipp, also für das Reihenglied a/n ein geeignetes a zu finden, schnell zum Erfolg kommen. Ein letzter Tipp:
[mm] \wurzel{1-1/n}<\wurzel{1}=1
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Do 05.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Tut mir echt leid, aber ich verstehe das einfach nicht mit dem Minorantenkriterium -.-
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Hallo al3pou,
wenn Du es siehst, ist es (wie immer) so einfach, dass Du nicht mehr verstehst, wieso Du es vorher nicht gesehen hast.
Schätz Deine Reihe mal ab gegen z.B. [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{3n}
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Sa 07.05.2011 | | Autor: | al3pou |
ich hab es im Nachhinein mit
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2n}
[/mm]
abgeschätzt. Ist doch auch okay oder? Kommt ja aufs selbe hinaus.
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Hallo al3pou,
ja natürlich, diese Abschätzung hatte ich sogar im Sinn. reverend schreib ja absichtlich 'z.B.', d.h., er wollte wohl nicht alles verraten. 
Gruß, Diophant
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