Konvergenz Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 So 03.04.2011 | | Autor: | racy90 |
Hallo ich soll ein paar Reihen auf Konvergenz untersuchen
Bei der [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n!}{(3n)!} [/mm] bin ich mir ziemlich sicher das man das Quotientenkriterirum anwenden kann
Nach dem Kürzen komm ich dann auf [mm] \bruch{(n+1)}{(3n+1)} [/mm] aber wie gehts dann weiter??
und die zweite Reihe wäre [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(n-1)}{(n^2+1)} [/mm] aber ich weiß nicht weclhes Kriterium man hier verwenden soll?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 So 03.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. dividier Yähler und Nenner durch 3 und find ein q<1
2. Majorantenkriterium verkleiner den nenner durch [mm] n^2-1 [/mm] dann kürzen.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 So 03.04.2011 | | Autor: | racy90 |
wie meinst du das ein q finden??
dann hab ich [mm] \bruch{(n+1)}{3}/n+1/3??
[/mm]
Ojee das Majorantenkriterium,das hab ich leider in der VO gar nicht verstanden :/
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Hallo racy90,
> wie meinst du das ein q finden??
>
> dann hab ich [mm]\bruch{(n+1)}{3}/n+1/3??[/mm]
Du wolltest doch das QK anwenden, da solltest du erstmal ordentlich (!!) aufschreiben, wie [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}[/mm] aussieht, dann steht doch alles schon da ...
[mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}=a_{n+1}\cdot{}\frac{1}{a_n}=\frac{(n+1)!}{(3(n+1))!}\cdot{}\frac{(3n)!}{n!}[/mm]
Nun beachte [mm](n+1)!=(n+1)\cdot{}n![/mm]
Also [mm]...=\frac{(n+1)\cdot{}n!}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!}\cdot{}\frac{(3n)!}{n!}=\ldots=\frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{n+1}=3(3n+2)(3n+1)[/mm]
Und was passiert hier für [mm]n\to\infty[/mm] ??
>
>
> Ojee das Majorantenkriterium,das hab ich leider in der VO
> gar nicht verstanden :/
Na, das ist ja mal ein sehr genau beschriebenes Problem ...
Leduart hat eine falsche Spur gelegt, sie Reihe ist ja von der Größenordnung [mm] $\sum\frac{1}{n}
[/mm]
Finde eine im Vergleich zur Ausgangsreihe "kleinere" Reihe (Minorante), die bekanntermaßen divergent ist.
Eine Variante der harmonischen Reihe bietet sich als Vergleichsreihe an ...
Dann ist deine größere Reihe ebenfalls divergent.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 So 03.04.2011 | | Autor: | racy90 |
das ganze geht doch gegen unendlich oder weil dann steht ja eingtl dort [mm] 3(\infty)(\infty)
[/mm]
ich hab es so aufgeschrieben [mm] \bruch{(n+1)!}{(3n+1)!}/\bruch{n!}{(3n)!}=\bruch{n!(n+1)!}{(3n!(3n+1))}*\bruch{(3n!)}{n!}=\bruch{(n+1)}{(3n+1)}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> das ganze geht doch gegen unendlich oder weil dann steht ja
> eingtl dort [mm]3(\infty)(\infty)[/mm]
Genau, also ist die Reihe hochgradig divergent!
>
>
> ich hab es so aufgeschrieben
> [mm]\bruch{(n+1)!}{\red{(3n+1)!}}/\bruch{n!}{(3n)!}=\bruch{n!(n+1)!}{(3n!(3n+1))}*\bruch{(3n!)}{n!}=\bruch{(n+1)}{(3n+1)}[/mm]
Das stimmt doch nicht, das würde gegen [mm] $\frac{1}{3}<1$ [/mm] konvergieren, damit wäre die Reihe (absolut) konvergent
Wenn du in $(3n)!$ das $n$ durch $n+1$ ersetzt, erhältst du nicht $(3n+1)!$, sondern $(3(n+1))!=(3n+3)!$
Lies dir meine andere Antwort mal genau durch ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 So 03.04.2011 | | Autor: | racy90 |
Warum wechseln Zähler und Nenner auf einmal?
$ [mm] ...=\frac{(n+1)\cdot{}n!}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!}\cdot{}\frac{(3n)!}{n!}=\ldots=\frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{n+1} [/mm]
klar n! und 3n! kürzen sich weg aber warum wechselt dann zähler und Nenner?
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Hallo racy90,
> Warum wechseln Zähler und Nenner auf einmal?
>
> $
> [mm]...=\frac{(n+1)\cdot{}n!}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!}\cdot{}\frac{(3n)!}{n!}=\ldots=\frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{n+1}[/mm]
>
>
> klar n! und 3n! kürzen sich weg aber warum wechselt dann
> zähler und Nenner?
Zähler und Nenner wechseln deshalb,
weil sich mein Vorredner hier verschrieben hat.
Richtig muss es daher lauten:
[mm]...=\frac{(n+1)\cdot{}n!}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!}\cdot{}\frac{(3n)!}{n!}=\ldots=\frac{n+1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 So 03.04.2011 | | Autor: | racy90 |
und von [mm] \frac{n+1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)} [/mm] schau ich mir jetz [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] an oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 So 03.04.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo racy!
> und von [mm]\frac{n+1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}[/mm] schau ich mir jetz [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] an oder?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Von dem (hiesigen) Grenzwert [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_n} \ = \ ... \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{n+1}{(3n+3)*(3n+2)*(3n+1)} \ = \ ...[/mm] kannst Du nun auf die Konvergenz bzw. Divergenz von [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] schließen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 So 03.04.2011 | | Autor: | racy90 |
oh okay
naja da nichts bei den Ausdruck 0 wird oder einen bestimmten Wert annimmt wenn n-> unendlich geht ,geht der Grenzwert gegen unendlich also is die Reihe divergent??
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Hallo racy90,
> oh okay
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> naja da nichts bei den Ausdruck 0 wird oder einen
> bestimmten Wert annimmt wenn n-> unendlich geht ,geht der
> Grenzwert gegen unendlich also is die Reihe divergent??
Der Ausdruck
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_n} \ = \ ... \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{n+1}{(3n+3)\cdot{}(3n+2)\cdot{}(3n+1)} \ = \ ...[/mm]
ist hier entscheidend.
Da dieser Ausdruck 0 ist, divergiert die Reihe nicht.
Gruss
MathePower
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Hehe,
ohja, sorry, zuviel copy and paste ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 So 03.04.2011 | | Autor: | racy90 |
okay danke
und bei der zweiten Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(n-1)}{(n^2+1)} [/mm] ,habt ihr ja gesagt ich soll ne Abwandlung von der harmonische Reihe als Minorante nehmen
Kann ich schreiben [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(n-1)}{(n^2+1)} [/mm] > [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^4}
[/mm]
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Hallo racy90,
> okay danke
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> und bei der zweiten Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(n-1)}{(n^2+1)}[/mm] ,habt ihr ja
> gesagt ich soll ne Abwandlung von der harmonische Reihe als
> Minorante nehmen
>
> Kann ich schreiben
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(n-1)}{(n^2+1)}[/mm] >
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^4}[/mm]
Nein.
Poste doch mal, wie Du zu dieser Abschätzung gekommen bist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 So 03.04.2011 | | Autor: | racy90 |
naja ihr habt mir weiter oben empfohlen mit einer Abwandlung der harmonischen Reihe zu arbeiten
da ich keine divergente Minorante brauche die kleiner sein soll als meine Ausgangsreihe ,hab ich mir gedacht ich nehm [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^4}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 So 03.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst doch nicht einfach was hinschreiben was konvergiert und dann sagen, dass deine Reihe grüsser oder kleiner ist?
ist.
Wenn jeder Summand deiner Reihe ab itgend einem i größer ist als eine divergente Reihe, dann muss die reihe doch selber auch divergieren. das ist doch ein recht einleuchtendes argument. diese kleinere reihe, die du aber finden musst ist dann die "Minorante" wenn die divergiert, dann natürlich auch dei reihe selbst.
als Minorante versucht man immer erst mal die harmonische Reihe.
also versuchst du deine Summanden
$ [mm] \bruch{(n-1)}{(n^2+1)} [/mm] $ abzuschaetzen, indem du sie verkleinerst wie kannst du [mm] \bruch{(n-1)}{(n^2+1)} [/mm] verkleinern? indem du den Nennwe vergrößerrst und oder den zähler verkleinerst.
Ziel ist 1/n oder 1/2n oder 1/(n+1) oder was ähnliches.
Das solltest du hinkriegen!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 So 03.04.2011 | | Autor: | racy90 |
Ich komme nicht in die Nähe der Ergebnisse
ich hab geschrieben [mm] \bruch{(n-1)}{(n^2+1)}>\bruch{(n-1)}{(2n^2+1)} [/mm] aber wie soll ich dann weiterrechnen kann ja nirgends was herausheben oder so
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 So 03.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
dann hast du eben ungeschickt abgeschätzt,
ein bissel mehr rumprobieren musst du schon. das ist ja nicht die einzige möglichkeit den Nenner zu vergrößern. Es ist wichtig, dass du lernst mit so was rumzuspielen, und nicht nur eine möglichkeit auszuprobieren. also versuch noch 10 andere Moglichkeiten. es muss auch nicht ab n=1 richtig sein sondern darf auch erst ab n=2 oder n=10 stimmen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:07 Mo 04.04.2011 | | Autor: | racy90 |
kann ich diese Abschätzung jetzt so stehen lassen??
[mm] \bruch{(n-1)}{(n^2+1)}>\bruch{(n-1)}{(2n^2)}>\bruch{-1}{4n}>\bruch{-1}{n^2}>\bruch{-1}{n}
[/mm]
weil [mm] \bruch{-1}{n} [/mm] divergent ist kann ich auch sagen das meine Ausgangsreihe div. ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:14 Mo 04.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> kann ich diese Abschätzung jetzt so stehen lassen??
>
> [mm]\bruch{(n-1)}{(n^2+1)}>\bruch{(n-1)}{(2n^2)}>\bruch{-1}{4n}>\bruch{-1}{n^2}>\bruch{-1}{n}[/mm]
>
> weil [mm]\bruch{-1}{n}[/mm] divergent ist kann ich auch sagen das
> meine Ausgangsreihe div. ist
Das ist doch Quatsch ! Ebenso gilt [mm] $\bruch{1}{n^2} \ge \bruch{-1}{n}$, [/mm] aber [mm] \sum \bruch{1}{n^2} [/mm] ist konvergent.
Versuchs mal mit: n-1 [mm] \ge [/mm] n/2 für n [mm] \ge [/mm] 2
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:40 Mo 04.04.2011 | | Autor: | racy90 |
irgendwie klappt das nicht so recht mit dem abschätzen
ich hab jetzt [mm] \bruch{(n-1)}{(n^2+1)}>\bruch{n}{2}/(n^2+1)>\bruch{n}{2}/(2n^2)>\bruch{n}{4}/2n
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:43 Mo 04.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> irgendwie klappt das nicht so recht mit dem abschätzen
>
> ich hab jetzt
> [mm]\bruch{(n-1)}{(n^2+1)}>\bruch{n}{2}/(n^2+1)>\bruch{n}{2}/(2n^2)>\bruch{n}{4}/2n[/mm]
Wie Du auf die letzte Ungl. kommst ist rätselhaft.
>
[mm] \bruch{n}{2}/(2n^2)= [/mm] n/4
Edit: das ist Quatsch. Richtig: $ [mm] \bruch{n}{2}/(2n^2)= \bruch{1}{4n}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:52 Mo 04.04.2011 | | Autor: | racy90 |
naja die partialsummen von [mm] \bruch{n}{4}/2n [/mm] sind doch kleiner als von [mm] \bruch{n}{2}/2n^2 [/mm] ??
aber wie soll ich jemals auf ein Ergebnis kommen ,ich kann ja den zähler beliebig klein machen ,ich kann ja auch schreiben [mm] \bruch{n}{1000}/2n
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:09 Mo 04.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> naja die partialsummen von [mm]\bruch{n}{4}/2n[/mm] sind doch
> kleiner als von [mm]\bruch{n}{2}/2n^2[/mm] ??
>
> aber wie soll ich jemals auf ein Ergebnis kommen ,ich kann
> ja den zähler beliebig klein machen ,ich kann ja auch
> schreiben [mm]\bruch{n}{1000}/2n[/mm]
Pardon ! Oben hab ich geschrieben:
$ [mm] \bruch{n}{2}/(2n^2)= [/mm] $ n/4. Da hab ich mich vertippt. Richtig:
$ [mm] \bruch{n}{2}/(2n^2)= \bruch{1}{4n}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mo 04.04.2011 | | Autor: | racy90 |
wenn ich bis auf [mm] \bruch{1}{4n} [/mm] abgeschätzt hab ,reicht das um zu sagen das die Reihe divergent ist weil [mm] \bruch{1}{4n} [/mm] ja auch divergent ist?
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Hallo racy,
> wenn ich bis auf [mm]\bruch{1}{4n}[/mm] abgeschätzt hab ,reicht das
> um zu sagen das die Reihe divergent ist weil [mm]\bruch{1}{4n}[/mm]
> ja auch divergent ist?
Das ist arg unsauber formuliert. Aber der Gedanke an sich ist richtig.
Da [mm] \summe{\bruch{1}{4n}} [/mm] divergent ist, ist Deine Reihe (die größer ist), es auch. Minorantenkriterium.
Grüße
reverend
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