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| Aufgabe | Konvergiert die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (1+n)^{-n} [/mm] ? |
Hallo!
Also ich versuche gerade diese Aufgabe zu lösne, aber komme an einer Stelle einfach nicht weiter:
Verwende zunächst das Quotientenkriterium und setze
lim [mm] \left| \bruch{a_n_+_1}{a_n} \right| [/mm]
[mm] n\to \infty
[/mm]
Habe dann:
lim [mm] \left| \bruch{(1+(n+1))^{-(n+1)}}{(1+n)^{-n}} \right| [/mm]
[mm] n\to \infty
[/mm]
vereinfache und komme an der Stelle
lim [mm] \left| \bruch{(1+n)^n}{(2+n)^n(2+n)} \right| [/mm]
[mm] n\to \infty
[/mm]
nicht weiter :-(
Wäre über einen Anstupser sehr erfreut 
Beste Grüße
Neuling88
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Hallo Neuling88,
> Konvergiert die Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (1+n)^{-n}[/mm] ?
> Hallo!
>
> Also ich versuche gerade diese Aufgabe zu lösne, aber
> komme an einer Stelle einfach nicht weiter:
> Verwende zunächst das Quotientenkriterium und setze
>
> lim [mm]\left| \bruch{a_n_+_1}{a_n} \right|[/mm]
> [mm]n\to \infty[/mm]
>
> Habe dann:
>
> lim [mm]\left| \bruch{(1+(n+1))^{-(n+1)}}{(1+n)^{-n}} \right|[/mm]
> [mm]n\to \infty[/mm]
>
> vereinfache und komme an der Stelle
>
> lim [mm]\left| \bruch{(1+n)^n}{(2+n)^n(2+n)} \right|[/mm]
> [mm]n\to \infty[/mm]
ohne Limes: [mm]=\frac{1}{2+n}\cdot{}\frac{n^n\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{n^n\cdot{}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n[/mm]
[mm]n^n[/mm] kürzen und [mm]n\to\infty:\longrightarrow 0\cdot{}\frac{e}{e^2}=0[/mm]
>
> nicht weiter :-(
>
> Wäre über einen Anstupser sehr erfreut
Hmm, wie wär's mit dem Vergleichskriterium?
Das ist m.E. schneller und einfacher:
Es ist [mm](1+n)^{-n}=\left(\frac{1}{1+n}\right)^n[/mm]
Nun ist für alle [mm]n\in\IN[/mm] doch sicher [mm]1+n\ge 2[/mm]
Also [mm]\frac{1}{1+n}\le\frac{1}{2}[/mm]
Nun?
>
> Beste Grüße
> Neuling88
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Hallo nochmal,
auch sehr sehr schnell:
Wurzelkriterium!
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
> ohne Limes:
war etwas verwirrt, weil ich die definition vom Quotientkrit. mal mit und mal ohne lim gesehen habe (z.b hier: http://www.mathematik.net/quotientenkriterium/qk1s18.htm)...also immer ohne?
> [mm]=\frac{1}{2+n}\cdot{}\frac{n^n\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{n^n\cdot{}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n[/mm]
>
> [mm]n^n[/mm] kürzen und [mm]n\to\infty:\longrightarrow 0\cdot{}\frac{e}{e^2}=0[/mm]
>
Nur nochmal zum Verständnis: Es heißt ja nach dem Quotientenkrit, dass wenn [mm] \left| a_n_+_1/a_n \right|<1 [/mm] konvergiert die Reihe. Also hier kommt dann für n gegen unendlich [mm] 0*e/e^2 [/mm] < 1. Also 0< 1 und deshalb konvergiert die Reihe.
> > nicht weiter :-(
> >
> > Wäre über einen Anstupser sehr erfreut
>
> Hmm, wie wär's mit dem Vergleichskriterium?
>
> Das ist m.E. schneller und einfacher:
>
> Es ist [mm](1+n)^{-n}=\left(\frac{1}{1+n}\right)^n[/mm]
>
> Nun ist für alle [mm]n\in\IN[/mm] doch sicher [mm]1+n\ge 2[/mm]
>
> Also [mm]\frac{1}{1+n}\le\frac{1}{2}[/mm]
>
> Nun?
Dieses Vergleichskriterium hatten wir leider noch nicht. Willst du mir trotzdem kurz erklären wie es weiter geht?
> > Beste Grüße
> > Neuling88
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Neuling88 |
Hi,
das Wurzelkriterium hatten wir auch noch nicht :-(
Danke für deine Hilfe
Neuling88
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