Konvergenz Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^n}
[/mm]
und möchte Konvergenz zeigen.
Habe dazu das Quotientenkriterium angewendet und bin so auf
[mm] \bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^n} [/mm] gekommen.
Also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}|=\bruch{1}{e} [/mm]
Reicht das schon oder müsste ich nun noch zeigen, dass
[mm] \bruch{1}{e} [/mm] < 1 ist?
Gruß,
Anna
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> ich habe die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^n}[/mm]
>
> und möchte Konvergenz zeigen.
> Habe dazu das Quotientenkriterium angewendet und bin so
> auf
> [mm]\bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^n}[/mm] gekommen.
> Also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] |
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}|=\bruch{1}{e}[/mm]
>
> Reicht das schon oder müsste ich nun noch zeigen, dass
> [mm]\bruch{1}{e}[/mm] < 1 ist?
Hallo,
nein, daß 2<e<3 wißt Ihr sicher, darauf kannst Du Dich berufen.
Zeigen mußt Du das nicht.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo Angela,
danke, also ist das so in Ordnung. Super.
Wie ist das eigentlich, wenn man z.B. die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3^n n!}{n^n} [/mm] hat und auch auf Konvergenz untersuchen will.
Dann wendet man doch auch das Quotientenkriterium an und erhält so
[mm] \bruch{4}{(1+\bruch{1}{n})^{n+1}} [/mm] (falls ich mich denn nicht verrechnet habe?).
Also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{4}{e} [/mm] . Kann das sein?
Gruß,
Anna
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 Di 06.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Prinzipiell geht das so. Aber wo "zauberst" Du denn die $4_$ im Zähler her? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Hallo Loddar,
[mm] \bruch{3^{n+1} (n+1!)*n^n}{3^n*n! (n+1)^{n+1}}
[/mm]
= [mm] \bruch{3^{n}+n^n}{ (n+1)^{n+1}}
[/mm]
Und auf die 4 bin ich dann durch die Division von n gekommen, aber da lieg ich wohl falsch....
//EDIT: OK, ich liege da falsch.
Stimmt denn [mm] \bruch{3^{n}+n^n}{ (n+1)^{n+1}} [/mm] = [mm] \bruch{3+n}{ (1+\bruch{1}{n})^{n+1}} [/mm]
als nächster Schritt?
Gruß,
Anna
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Di 06.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Wie kommst Du denn auf das Pluszeichen im Zähler?
[mm] $$\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|\bruch{\bruch{3^{n+1}*(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\bruch{3^n*n!}{n^n}}\right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3^{n+1}*(n+1)!*n^n}{3^n*n!*(n+1)^{n+1}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3*(n+1)*n^n}{(n+1)^{n+1}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3*n^n}{(n+1)^n} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Hallo Loddar,
> Wie kommst Du denn auf das Pluszeichen im Zähler?
puh, frag mich nicht, da ist wohl irgendwas verquer gegangen bei mir.![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
> [mm]\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| \ = \ \left|\bruch{\bruch{3^{n+1}*(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\bruch{3^n*n!}{n^n}}\right| \ = \ \bruch{3^{n+1}*(n+1)!*n^n}{3^n*n!*(n+1)^{n+1}} \ = \ \bruch{3*(n+1)*n^n}{(n+1)^{n+1}} \ = \ \bruch{3*n^n}{(n+1)^n} \ = \ ...[/mm]
Ja, OK. So sieht das besser aus. Könnte man jetzt so weiter machen:
[mm] \bruch{3*n^n}{(n+1)^n} [/mm] = [mm] \bruch{3*n^n}{n^n +1^n} [/mm] = [mm] \bruch{3}{1 +1^n}
[/mm]
also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
?
Danke,
Anna
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Di 06.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Anna!
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") Das kannst Du aber besser. Es gilt i. Allg.: $(a+b)^n \ \red{\not=} \ a^n+b^n$ !!
Fasse die beiden Potenzen mit $(...)^n$ zusammen:
$$\bruch{n^n}{(n+1)^n} \ = \ \bruch{1}{\bruch{(n+1)^n}{n^n}} \ = \ \bruch{1}{\left(\bruch{n+1}{n}\right)^n}} \ = \ \bruch{1}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}} \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:01 Di 06.05.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Loddar,
sorry,...wie peinlich. ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]") Meine Übermüdung scheint sich doch bemerkbar zu machen.
Also handelt es sich um [mm] \bruch{1}{e}....
[/mm]
Danke,
Anna
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 Di 06.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und der Gesamtgrenzwert des Quotienten lautet damit [mm] $\bruch{3}{e} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 1.104 \ > \ 1$ .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 Di 06.05.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Loddar,
genau. Danke für Deine Hilfe!
Gruß,
Anna
|
|
|
|
