Konvergenz Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Mo 15.04.2013 | | Autor: | marmik |
| Aufgabe | | Für welche x [mm] \in\IR [/mm] konvergiert [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{{2n \choose n}} [/mm] ? |
Hallo zusammen,
Wie man im Betreff schon sehen kann liegt mein Problem bei den Randpunkten...aber ich fange einfach mal an:
[mm] r=\left | \lim_{n \to \infty}\bruch{a_{n}}{a_{n+1}} \right|=\lim_{n \to \infty}\bruch{{2n+2 \choose n+1}}{{2n \choose n}}=\lim_{n \to \infty}\bruch{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^{2}}=\lim_{n \to \infty}2\bruch{2n+1}{n+1}=4
[/mm]
Also ist der Konvergenzradius 4 und die Reihe konvergiert für alle x [mm] \in [/mm] (-4,4)
Dann wollte ich anfangen die Ränder zu betrachten und habe dann erstmal die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{4^n}{{2n \choose n}} [/mm] betrachtet.
Zuerst habe ich das Quotientenkriterium angewendet und schnell gesehen, dass da 1 raus kommt und ich somit keine Aussage treffen kann. Dann habe ich an das Wurzelkriterium gedacht und die Fakultäten über die Stirling-Formel ausgedrückt, wobei ebenfalls 1 raus kam.
Meine letzte Überlegung war es eine divergente Minorante zu finden (da ich annehme dass sie an den Rändern divergiert) doch ich habe leider keine gefunden ... Ich hoffe mir kann jemand helfen und mir sagen wie ich an diese Reihe herangehen soll. (Vllt auch schon einen kurzen Tipp für die Reihe am unteren Rand :) ) vielen dank im Vorraus!
MfG marmik
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo marmik,
> Für welche x [mm]\in\IR[/mm] konvergiert [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{{2n \choose n}}[/mm]
> ?
> Hallo zusammen,
> Wie man im Betreff schon sehen kann liegt mein Problem bei
> den Randpunkten...aber ich fange einfach mal an:
>
> [mm]r=\left | \lim_{n \to \infty}\bruch{a_{n}}{a_{n+1}} \right|=\lim_{n \to \infty}\bruch{{2n+2 \choose n+1}}{{2n \choose n}}=\lim_{n \to \infty}\bruch{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^{2}}=\lim_{n \to \infty}2\bruch{2n+1}{n+1}=4[/mm]
>
> Also ist der Konvergenzradius 4 und die Reihe konvergiert
> für alle x [mm]\in[/mm] (-4,4)
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann wollte ich anfangen die Ränder zu betrachten und habe
> dann erstmal die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{4^n}{{2n \choose n}}[/mm]
> betrachtet.
> Zuerst habe ich das Quotientenkriterium angewendet und
> schnell gesehen, dass da 1 raus kommt und ich somit keine
> Aussage treffen kann. Dann habe ich an das Wurzelkriterium
> gedacht und die Fakultäten über die Stirling-Formel
> ausgedrückt, wobei ebenfalls 1 raus kam.
> Meine letzte Überlegung war es eine divergente Minorante
> zu finden (da ich annehme dass sie an den Rändern
> divergiert) doch ich habe leider keine gefunden ... Ich
> hoffe mir kann jemand helfen und mir sagen wie ich an diese
> Reihe herangehen soll. (Vllt auch schon einen kurzen Tipp
> für die Reihe am unteren Rand :) ) vielen dank im
> Vorraus!
Schätze die Koeffizienten der Reihe an den Rändern nach unten ab.
Und beweise dies ggf. durch vollständige Induktion.
> MfG marmik
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Mo 15.04.2013 | | Autor: | marmik |
Danke für deine Antwort, jedoch kann ich damit nicht viel anfangen...
Die Koeffizienten sind ja gegeben durch [mm] a_{n}=\bruch{1}{{2n \choose n}}.
[/mm]
Aber ich verstehe nicht ganz was mit "nach unten abschätzen" gemeint ist?
Meine Überlegung war auch evtl zu zeigen dass für alle n [mm] \in\IN [/mm] gilt:
[mm] 4^{n}>{2n \choose n} [/mm] da ja dann keine Nullfolge mehr vorhanden ist und dann divergiert die Reihe. Ist das Vllt ein sinnvoller Ansatz ?
MfG marmik
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Hallo marmik,
> Danke für deine Antwort, jedoch kann ich damit nicht viel
> anfangen...
> Die Koeffizienten sind ja gegeben durch
> [mm]a_{n}=\bruch{1}{{2n \choose n}}.[/mm]
> Aber ich verstehe nicht
> ganz was mit "nach unten abschätzen" gemeint ist?
> Meine Überlegung war auch evtl zu zeigen dass für alle n
> [mm]\in\IN[/mm] gilt:
> [mm]4^{n}>{2n \choose n}[/mm] da ja dann keine Nullfolge mehr
> vorhanden ist und dann divergiert die Reihe. Ist das Vllt
> ein sinnvoller Ansatz ?
Jo, das erscheint mir sinnvoll!
Für große n folgt das schnell aus der Stirling-Formel.
Ansonsten kannst du eine Induktion versuchen ..
> MfG marmik
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mo 15.04.2013 | | Autor: | marmik |
Hallo Schachuzipus,
Ich habe es auch gerade auf Papier geschrieben und es haut gut hin mit der Stirling-Formel.
Am Ende erhält man dann [mm] 4^{n}>\bruch{4^{n}}{\pi n}
[/mm]
Meine (ich hoffe letzte) Frage waere dann noch, wie ich das für den unteren Rand machen soll? Kann man da über die Divergenz am oberen Rand argumentieren oder muss ich das irgendwie anders zeigen?
MfG marmik
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Hallo nochmal,
> Hallo Schachuzipus,
> Ich habe es auch gerade auf Papier geschrieben und es haut
> gut hin mit der Stirling-Formel.
> Am Ende erhält man dann [mm]4^{n}>\bruch{4^{n}}{\pi n}[/mm]
*Ich* hatte da [mm]\sqrt{\pi n}[/mm] stehen, aber kann mich auch verrechnet haben auf die Schnelle
> Meine
> (ich hoffe letzte) Frage waere dann noch, wie ich das für
> den unteren Rand machen soll? Kann man da über die
> Divergenz am oberen Rand argumentieren oder muss ich das
> irgendwie anders zeigen?
Trivialkriterium: Es ist [mm]a_n[/mm] keine Nullfolge,
[mm]a_n=\frac{(-4)^n}{\vektor{2n\\n}}[/mm]
Denn [mm]a_n\sim (-1)^n\cdot{}\sqrt{\pi n}[/mm] nach Stirling
> MfG marmik
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 Mo 15.04.2013 | | Autor: | marmik |
Alles klar,
Vielen dank für deine Hilfe!
MfG marmik
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