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Ok Sorry nochmal. Also Die Reihe ist [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \wurzel{n+1}/2n+1 [/mm] so also für n gegen unendlich geht die Folge gegen null. Also ist die Reihe doch konvergent oder ? So wie krieg ich das jetz mit irgendeinem Kriterium hin. Wie gesagt Quotientenkriterium liefert bei mir 1, also keine Aussage. Wurzelkriterium is schlecht. Welches nehme ich dann und wie mache ich das ? Gruß und Danke
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo nochmal,
> Ok Sorry nochmal. Also Die Reihe ist [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \wurzel{n+1}/2n+1[/mm]
> so also für n gegen unendlich geht die Folge gegen null.
> Also ist die Reihe doch konvergent oder ? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist zwar ein NOTWENDIGES Kriterium, aber [mm] \underline{kein} [/mm] HINREICHENDES - bedenke die Reihe [mm] \sum\frac{1}{n} [/mm] (harmonische Reihe)
So wie krieg ich
> das jetz mit irgendeinem Kriterium hin. Wie gesagt
> Quotientenkriterium liefert bei mir 1, also keine Aussage.
> Wurzelkriterium is schlecht. Welches nehme ich dann und wie
> mache ich das ? Gruß und Danke
>
> ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Ich denke, die Reihe ist - wie die in dem anderen post auch - divergent.
Dazu versuche mal, ähnlich zu der Abschätzung im anderen post, gegen eine divergente Minorante der Form [mm] \sum\frac{1}{n^s} [/mm] mit [mm] s\le [/mm] 1 abzuschätzen...
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 Do 26.07.2007 | | Autor: | JanH |
Erstmal Hallo in die Runde!
Also die Frage kam ursprünglich von mir, aber ich war bis eben noch nicht hier angemeldet. Wenn ich mir jetzt deine Antwort aus dem ersten Thread ansehe, dann kann ich die doch leicht abgewandelt wieder nehmen:
[mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{\sqrt{n+1}}{2n+1}>\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{2n+1}>\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{n^2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}
[/mm]
Dann wäre aber jetzt in [mm] \sum\frac{1}{n^s} [/mm] das s>1 und die Reihe somit konvergent? Wo liegt mein Fehler?
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Hi Jan,
du hast den Nenner zu "großzügig" abgeschätzt, so dass du zwar eine Minorante gefunden hast, aber eine konvergente 
Dann kannst du über die größere Reihe leider nix aussagen
Schätze die 2n+1 im Nenner gegen 3n ab, dann sollte das klappen mit der [mm] \underline{divergenten} [/mm] Minorante
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:22 Fr 27.07.2007 | | Autor: | JanH |
Puh, langsam habe ich den Einduck die Zeit ist zu weit fortgeschritten, als dass ich das heute noch verstehen könnte ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Also zunächst: ich finde keine Möglichkeit, wie du auf eine Antwort zu antworten!?
Dass die Minorante divergent sein muss, ist mir nun aus dem Vorlesungsscript klar geworden - natürlich! Wenn ich nun wie empfohlen die 2n+1 im Nenner gegen 3n abschätze, steht am Ende im Nenner [mm] 3*\wurzel{n}, [/mm] also s = 0,5 < 1. Aber ist die 3 nun für die Divergenz unbedeutend, oder wie beseitige ich die noch?
Und woher weis ich im Voraus, dass das Minorantenkriterium angewandt werden muss?
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Hallo nochmal,
> Puh, langsam habe ich den Einduck die Zeit ist zu weit
> fortgeschritten, als dass ich das heute noch verstehen
> könnte
>
> Also zunächst: ich finde keine Möglichkeit, wie du auf eine
> Antwort zu antworten!?
>
> Dass die Minorante divergent sein muss, ist mir nun aus dem
> Vorlesungsscript klar geworden - natürlich! Wenn ich nun
> wie empfohlen die 2n+1 im Nenner gegen 3n abschätze, steht
> am Ende im Nenner [mm]3*\wurzel{n},[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") also s = 0,5 < 1. Aber ist
> die 3 nun für die Divergenz unbedeutend , oder wie beseitige
> ich die noch?
die [mm] \frac{1}{3} [/mm] kannste vor die Summe ziehen:
[mm] \sum\frac{1}{3n^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{3}\sum\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}
[/mm]
Wenn nun [mm] \sum\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] divergiert, so divergiert doch sicherlich auch [mm] \frac{1}{3}\sum\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}} [/mm] gegen [mm] \frac{1}{3}\cdot{}\infty=\infty [/mm] (mal salopp geschrieben)
> Und woher weis ich im Voraus, dass das Minorantenkriterium
> angewandt werden muss?
Naja, wenn man sich so ein Reihenglied [mm] \frac{\sqrt{n+1}}{2n+1} [/mm] anschaut, so ist das doch - wenn man nur die höchsten Potenzen von n im Zähler une Nenner betrachtet und die +1 vernachlässigt ungefähr sowas wie [mm] \frac{1}{2\sqrt{n}} [/mm]
Mit der Vermutung/Erkenntnis kann man dann versuchen, ob man die Reihe irgendwie umbasteln kann zu [mm] \sum\frac{1}{2\sqrt{n}} [/mm] bzw. [mm] \sum\frac{1}{\red{k}\sqrt{n}}=\frac{1}{k}\sum\frac{1}{\sqrt{n}} [/mm] für ein festes k
Das [mm] \frac{1}{k} [/mm] ist ja beschränkt, tut also der Divergenz keinen Abbruch...
Hoffe, das war einigermaßen verständlich rübergebracht und nicht allzu sehr Wirrwar
LG
schachuzipus
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![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]"){kind=small}
Ausgezeichnet, vielen Dank! Werd' wohl in den nächsten Tagen noch mehr Fragen hab - die Mathe-Prüfung steht an ![[buchlesen]](/images/smileys/buchlesen.gif "[buchlesen]"){kind=small}
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
![[mussweg]](/images/smileys/mussweg.gif "[mussweg]"){kind=small}
