Konvergenz Komplexe Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Di 19.06.2007 | | Autor: | lc76 |
| Aufgabe | Es seien [mm] (a_k)_{k\in\IN} [/mm] und [mm] (b_k)_{k\in\IN} [/mm] Folgen komplexer Zahlen mit den Eigenschaften:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] ist konvergent und [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(b_k-b_{k+1}) [/mm] ist absolut konvergent.
Zeigen Sie: Die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k*b_k [/mm] ist konvergent.
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Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen? Danke! Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es seien [mm](a_k)_{k\in\IN}[/mm] und [mm](b_k)_{k\in\IN}[/mm] Folgen
> komplexer Zahlen mit den Eigenschaften:
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> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}a_k[/mm] ist konvergent und
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(b_k-b_{k+1})[/mm] ist absolut konvergent.
> Zeigen Sie: Die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty}a_k*b_k[/mm] ist
> konvergent.
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> Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen?
Es genügt zu zeigen, dass die Folge [mm](b_k)_{k\in\IN}[/mm] beschränkt ist. - Und ist sie beschränkt? - Aber ja doch. Es gilt ja
[mm]|b_k| \leq |b_1|+\sum_{i=1}^{k-1}|b_i-b_{i+1}|
\leq |b_1|+ \sum_{i=1}^\infty |b_i-b_{i+1}| < \infty[/mm]
Wobei die unendliche Summe der Beträge der Differenzen wegen der absoluten Konvergenz der Reihe der Differenzen konvergiert. Somit ist also [mm]M := |b_1|+\sum_{i=1}^\infty |b_i-b_{i+1}|[/mm] eine Schranke für die Folge [mm](b_k)_{k\in\IN}[/mm]
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