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| Aufgabe | Für [mm] x\in\IR [/mm] untersuche man die Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] mit
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+x^{2n}}
[/mm]
auf Konvergenz und bestimmte gegebenenfalls ihren Grenzwert. |
Tue mich mit obiger Aufgabe etwas schwer. Also so die Lösung an sich ist mir (glaube ich) schon relativ klar.. Ich würde halt versch. Fälle unterscheiden, nämlich:
für x = 0 wäre die Folge konstant und somit der Grenzwert 1.
für x = [-1...1; [mm] \not=0] [/mm] läuft die Folge gg. 1.
für x >1 [mm] \wedge [/mm] x<-1 gg. 0.
Wie formulier ich das vernünftig, bzw. wie beweise ich das?
Danke für die Hilfe schonmal!
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Der Exponent ist ja 2n, also [mm] x^{2n}\ge0. [/mm] Du könntest Deine Fallunterscheidung mit Betragsstrichen lesbarer gestalten.
Für |x|=0 sind die [mm] a_n [/mm] ja konstant, da brauchst Du keine Grenzwertbetrachtung mehr.
Für |x|<1 empfiehlt sich womöglich die Betrachtung [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{1+x^{2n}}=\bruch{1}{1+\limes_{n\rightarrow\infty}x^{2n}}
[/mm]
Für |x|=1 musst Du wohl auch noch eine Sonderbetrachtung anstellen. 
Und für |x|>1 hilft [mm] \bruch{1}{1+x^{2n}}<\bruch{1}{x^{2n}} [/mm] bestimmt weiter.
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