Konvergenz/Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Di 29.01.2008 | | Autor: | Mara22 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die untenstehenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den zugehörigen Grenzwert.
1. [mm] \wurzel{i+1} [/mm] − [mm] \wurzel{i}
[/mm]
2. exp [mm] (i-1)(i-2)/3i^{2} [/mm] |
Ich komm damit einfach nicht klar. Ich weis dass ich bei 1. irgendwie erweitern muss mit [mm] \wurzel{i+1} [/mm] + [mm] \wurzel{i} [/mm] aber könnte mir jemand das bitte schritt für schritt erklären, wie ich dann auch am ende auf den grenzwert komme? Und bei 2. komme ich überhaupt nicht weiter, wüsste nicht ma wo ich anfangen soll. Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Mara,
ja, die Idee für (a) ist doch goldrichtig.
Schreib's doch einfach mal hin:
$\sqrt{i+1}-\sqrt{i}=\frac{(\sqrt{i+1}-\sqrt{i})\blue{(\sqrt{i+1}+\sqrt{i})}}{\blue{\sqrt{i+1}+\sqrt{i}}}=\frac{i+1-i}{\sqrt{i\left(1+\frac{1}{i}\right)}+\sqrt{i}}=\frac{1}{\sqrt{i}\cdot{}\left(\sqrt{1+\frac{1}{i}+1\right)}$
Und das strebt für $i\to\infty$ gegen ...
bei der (b) hast du ja $e^{\frac{(i+1)(i-1)}{3i^2}}$
Da schnappe dir mal den Exponenten und schaue, wogegen der für $i\to\infty$ strebt
Klammern ausmultiplizieren und dann die höchste Potenz von $i$ ausklammern, danach den GW noch $e^{GW}$
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Di 29.01.2008 | | Autor: | Mara22 |
strebt das bei a gegen 0? ich versteh einfach nicht was ich jetzt für i einsetze... normalerweise setze ich doch dafür ganz viele zahlen ein um zu sehn, wohin es strebt, aber das dauert ja ewig. also entweder steh ich jetzt total aufm schlauch oder ich weis auch net. was setze ich denn dann für i ein damit ich den grenzwert bekomme?
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Hallo nochmal,
was meinst du mit "Zahlen einsetzen"??
Was bedeutet denn "Konvergenz einer Folge" ?
Wie habt ihr den Begriff "Grenzwert einer Folge" definiert?
Was schaut man sich denn dabei an?
Doch das Verhalten für [mm] $i\to\infty$
[/mm]
Also, was passiert, wenn $i$ beliebig groß wird
Und ja, es stimmt, der GW bei (a) ist 0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Denn der Zähler strebt gegen 1 und der Nenner gegen [mm] $\infty\cdot{}\sqrt{2}=\infty$
[/mm]
Also strebt die Folge in (a) für [mm] $i\to\infty$ [/mm] insgesamt gegen [mm] $\frac{1}{\infty}=0$
[/mm]
Wie sieht's bei (b) aus? Wogegen geht der Exponent für [mm] $i\to\infty$?
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Di 29.01.2008 | | Autor: | Mara22 |
ich wäre auf 0 gekommen, jedoch weis ich dass das net stimmt, weil ich gerade gesehen habe dass ich eine ähnliche aufgabe habe und da kommt 1/3 raus, jedoch ohne dieses e. und ich versteh einfach nicht wieso da nicht null rauskommt. ich hab das ausmultipliziert dann steht da [mm] 1-3/i+2/i^2 [/mm] / 3 und da sehe ich doch dass 3/i gegen 0 geht und [mm] 2/i^2 [/mm] auch gegen null. liegt das dann daran dass ich noch die 1 habe und dadurch 1/3 rauskommt? (ok hab ich grad gemerkt als ich den text geschrieben hab :) ) was mach ich jetzt noch mit dem e?
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Hallo,
ganz genau, der Zähler geht gegen $1-0+0=1$ und der Nenner gegen 3
Also der Bruch gegen [mm] \frac{1}{3}
[/mm]
Damit geht deine Ausgangsfolge gegen [mm] $e^{\frac{1}{3}}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Di 29.01.2008 | | Autor: | Mara22 |
wow, solangsam schein ichs ja zu schnallen ;) danke
ich habe noch eine und hab die jetzt mal versucht allein zu machen.
exp (2i-1)/i / exp(1) => 2-1/i / 1 ist hier dann der grenzwert 2? da 1/i ja wieder gegen 0 geht und bei exp(1) kann ich ja nix machen oder? wäre dann die lösung [mm] e^2 [/mm] oder nur 2?
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Hallo Mara
> exp (2i-1)/i / exp(1) => 2-1/i / 1 ist hier dann der
> grenzwert 2? da 1/i ja wieder gegen 0 geht und bei exp(1)
> kann ich ja nix machen oder? wäre dann die lösung [mm]e^2[/mm] oder
> nur 2?
für den Exponenten [mm]\bruch {2-i}{i}[/mm] stimmt der Grenzwert von 2. Nun muss nur noch berücksichtigt werden, daß da ne Exponentialfunktion davorsteht.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Di 29.01.2008 | | Autor: | Mara22 |
ja wie mach ich das denn? kürzen die sich net einfach weg? ;)
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Hallo Mara,
> ja wie mach ich das denn? kürzen die sich net einfach weg?
> ;)
Leider nein.
[mm]\limes_{i \to \infty} \bruch{ e^\bruch{2-i}{i}}{e^1}
= \bruch {1}{e^1} \limes_{i \to \infty} e^\bruch{2-i}{i}}=\bruch {1}{e^1} e^{\limes_{i \to \infty}\bruch{2-i}{i}}=\bruch {1}{e^1} e^2=e^1[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Di 29.01.2008 | | Autor: | Mara22 |
vielen dank :)
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