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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 Sa 06.07.2013 | | Autor: | Kappa |
| Aufgabe | Seien [mm] A,M\in \mathbb{R}^{n\times n} [/mm] symmetrische und positiv definite Matrizen, deren Multiplikation kommutiert und sei [mm] b\in \mathbb{R}^n. [/mm] Um das Gleichungssystem Ax=b zu lösen, betrachten wir folgendes Verfahren:
[mm] x_{n+1}=(I-\alpha M^{-1}A)x_n+\alpha M^{-1}b,\ n\in \mathbb{N}_0
[/mm]
mit dem Startvektor [mm] x_0\in \mathbb{R}^n. [/mm] Sei [mm] \lambda_{max} [/mm] der betraglich größte Eigenwert von [mm] M^{-1}A [/mm] und sei [mm] \alpha \in (0,\bruch{2}{| \lambda_{max} |}).
[/mm]
Zeigen Sie, dass
(i) [mm] M^{-1}A [/mm] symmetrisch und positiv definit ist.
(ii) das Verfahren für jeden Startvektor [mm] x_0\in \mathbb{R}^n [/mm] konvergiert.
(iii) der Grenzwert des Verfahrens das Gleichungssystem Ax=b löst.
Hinweis: Das Produkt zweier positiv definiten Matrizen, deren Multiplikation kommutiert, ist wieder positiv definit. |
Hallo,
ich brauche ganz dringend Hilfe bei der Aufgabe.
Von Teil (i) habe ich schon gezeigt, dass das positiv definit ist. Bei der Symmetrie habe ich ein paar Probleme. Das Inverse einer symmetrischen Matrix ist ja wieder symmetrisch. Hier gilt ja AM=MA. Gilt dann auch [mm] AM^{-1}=M^{-1}A?? [/mm] Wenn das gelten würde, dann könnte ich zeigen, dass das Produkt wieder symmetrisch ist. Wenn das nicht gilt, wie kann ich dann zeigen, dass das Produkt symmetrisch ist?
Bei (ii) und (iii) weiß ich aber überhaupt nicht, wie ich vorgehen soll.
Ich brauche unbedingt einen Ansatz oder Hinweis.
Es ist wirklich wichtig. Ich muss die Aufgabe perfekt vorrechnen, weil ich sonst nicht zur Klausur zugelassen bin.
Bin für jede Hilfe dankbar.
Grüße Kappa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:32 So 07.07.2013 | | Autor: | fred97 |
1. Multipliziere die Gl.
AM=MA
von links mit [mm] M^{-1} [/mm] und die entstandene Gl. von rechts mit [mm] M^{-1}.
[/mm]
2. Ist B eine symmetrische Matrix, so hat die Menge
[mm] \{ |\lambda|: \lambda \quad ist \quad Eigenwert \quad von \quad B \}
[/mm]
ein Maximum [mm] m_0.
[/mm]
Es gilt:
[mm] m_0=||B||, [/mm]
wobei ||*|| die zu euklidischen Norm auf [mm] \IR^n [/mm] gehörende Operatorennorm ist.
3. Setze [mm] B:=I-\alpha M^{-1}A [/mm] und zeige
||B||<1.
4. Teil (ii) Deiner Aufgabe folgt aus 3. und dem Fixpunktsatz von Banach.
5. Ist x der Grenzwert der Folge [mm] (x_n), [/mm] so gilt
[mm] x=(I-\alpha M^{-1}A)x+\alpha M^{-1}b.
[/mm]
Zeige, dass daraus Ax=b folgt.
FRED
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