Konvergenz Funktionenfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:17 Mi 07.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
| Aufgabe | Wie lautet die Grenzfunktion zu
[mm] f_{n}(x)=\bruch{ln(x+n)}{n}
[/mm]
ist die Grenzfunktion R-integrierbar und auf welchem Intervall konvergiert die Funktionenfolge gleichmäßig? |
ich habe mir das wie folgt gedacht:
[mm] \bruch{ln(n+x)}{n}\le\bruch{n+x}{n}=\bruch{1+x/n}{1} [/mm] --> 1
also ist die Grenzfunktion f(x)=1 und R-Integrierbar auf ganz [mm] \IR
[/mm]
Dann wollte ich nach dem Supremumskriterium die Konvergenz abschätzen:
[mm] g_{n}(x)=|f_{n}(x)-f(x)| [/mm] -> [mm] g'(x)=\bruch{1}{n(x+n)}, [/mm] der ja für alle x bei [mm] n\rightarrow\infty [/mm] gegen 0 geht.
jetzt weiß ich nicht genau, wie das zu bewerten ist...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 Mi 07.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wie lautet die Grenzfunktion zu
>
> [mm]f_{n}(x)=\bruch{ln(x+n)}{n}[/mm]
>
> ist die Grenzfunktion R-integrierbar und auf welchem
> Intervall konvergiert die Funktionenfolge gleichmäßig?
> ich habe mir das wie folgt gedacht:
>
> [mm]\bruch{ln(n+x)}{n}\le\bruch{n+x}{n}=\bruch{1+x/n}{1}[/mm] --> 1
>
> also ist die Grenzfunktion f(x)=1 und R-Integrierbar auf
> ganz [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das kannst du nicht folgern, sondern nur $f(x)\le 1$.
Zum Beispiel ist $f_n(0) = \bruch{\ln n}{n} }\rightarrow 0 $.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Mi 07.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Aber die Folgerung, das die Grenzfunktion R-Integrierbar ist bleibt dadurch bestehen (f(x) beschränkt), oder?
wie lautet denn die "richtige" Grenzfunktion, oder ist die Aussage [mm] \le [/mm] 1 die einzige die man treffen kann?
leider hilft mir das bei Punkt b ja nicht weiter..
bei den meisten Beispielen die ich bisher gerechnet habe ist eine Abschätzung in der Form möglich:
[mm] f_{n}(0)=0-->f(0)=0 [/mm] -->f(x)=0
hier geht dies aber nicht mehr...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:18 Do 08.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Aber die Folgerung, das die Grenzfunktion R-Integrierbar
> ist bleibt dadurch bestehen (f(x) beschränkt), oder?
Beschränktheit ist nicht hinreichend für Riemann-Integrierbarkeit. Stetig und beschränkt reicht.
> wie lautet denn die "richtige" Grenzfunktion, oder ist die
> Aussage [mm]\le[/mm] 1 die einzige die man treffen kann?
Du kannst doch l'Hospital einfach anwenden, da Zähler und Nenner beide gegen unendlich gehen.
Viele Grüße
Rainer
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