Konvergenz Folge bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Sa 14.11.2009 | | Autor: | LariC |
| Aufgabe | Zeigen sie die Konvergenz der Folge (an):
an:= 1+ [mm] 1/2^2 [/mm] + [mm] 1/3^2 [/mm] + ... + [mm] 1/n^2 [/mm] |
Also ich sitze jetzt schon eine Weile an dieser Aufgabe und habe mir nun schon einige Male die Text zum Cauchy-Kriterium durchgelsen, aber irgedwie kapiere ich nicht, wie ich es hierauf erfolgreich anwenden soll.
Könnte mir bitte jemend versuche zu erklären, wie ich dieses Kriterium hier an´zuwenden habe?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo LariC und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Zeigen sie die Konvergenz der Folge (an):
>
> an:= 1+ [mm]1/2^2[/mm] + [mm]1/3^2[/mm] + ... + [mm]1/n^2[/mm]
> Also ich sitze jetzt schon eine Weile an dieser Aufgabe
> und habe mir nun schon einige Male die Text zum
> Cauchy-Kriterium durchgelsen, aber irgedwie kapiere ich
> nicht, wie ich es hierauf erfolgreich anwenden soll.
> Könnte mir bitte jemend versuche zu erklären, wie ich
> dieses Kriterium hier an´zuwenden habe?
Musst du denn zwingend das Cauchy-Kriterium verwenden?
Hier hast du doch eine geometrische Reihe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^k$ [/mm] vorliegen
Kennst du die Formel für die endliche geometrische Summe (Reihe) [mm] $\sum\limits_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm] (Beweis per Induktion)
Was passiert dort für $q<1$ (hier in deiner Aufgabe dann insbesondere für [mm] $q=\frac{1}{2}$) [/mm] für [mm] $n\to\infty$ [/mm] ?
Mit dem Cauchykriterium müsstest du (für $n>m$) den Betrag [mm] $\left|\left(\sum\limits_{k=0}^n\left(\frac{1}{2}\right)^k\right)-\left(\sum\limits_{k=0}^m\left(\frac{1}{2}\right)^k\right)\right|=\left|\sum\limits_{k=m}^n\left(\frac{1}{2}\right)^k\right|$ [/mm] abschätzen.
Ich würde es über die Formel für die geometr. Reihe machen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 Sa 14.11.2009 | | Autor: | fencheltee |
> Hallo LariC und ,
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> > Zeigen sie die Konvergenz der Folge (an):
> >
> > an:= 1+ [mm]1/2^2[/mm] + [mm]1/3^2[/mm] + ... + [mm]1/n^2[/mm]
> > Also ich sitze jetzt schon eine Weile an dieser Aufgabe
> > und habe mir nun schon einige Male die Text zum
> > Cauchy-Kriterium durchgelsen, aber irgedwie kapiere ich
> > nicht, wie ich es hierauf erfolgreich anwenden soll.
> > Könnte mir bitte jemend versuche zu erklären, wie ich
> > dieses Kriterium hier an´zuwenden habe?
>
> Musst du denn zwingend das Cauchy-Kriterium verwenden?
>
> Hier hast du doch eine geometrische Reihe
> [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^k[/mm]
> vorliegen
mh irgendwie hast du dich glaube ich verguckt?!
es sollte doch vielmehr um
[mm] \summe_{i=1}^{n}\frac{1}{n^2} [/mm] gehen oder?
>
> Kennst du die Formel für die endliche geometrische Summe
> (Reihe) [mm]\sum\limits_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
> (Beweis per Induktion)
>
> Was passiert dort für [mm]q<1[/mm] (hier in deiner Aufgabe dann
> insbesondere für [mm]q=\frac{1}{2}[/mm]) für [mm]n\to\infty[/mm] ?
>
> Mit dem Cauchykriterium müsstest du (für [mm]n>m[/mm]) den Betrag
> [mm]\left|\left(\sum\limits_{k=0}^n\left(\frac{1}{2}\right)^k\right)-\left(\sum\limits_{k=0}^m\left(\frac{1}{2}\right)^k\right)\right|=\left|\sum\limits_{k=m}^n\left(\frac{1}{2}\right)^k\right|[/mm]
> abschätzen.
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>
> Ich würde es über die Formel für die geometr. Reihe
> machen.
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> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
>
> LG
>
> schachuzipus
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:45 Sa 14.11.2009 | | Autor: | LariC |
Ne - die geometrische Reihe kenne ich leider noch nicht. Aber ich denke das müsste doch dann konvergieren, oder?
Aber ich soll doch die Konvergenz zeigen, da würde ich eigentlich eher denken, dass die Folge auch konvergiert....aber ich schätze das liegt daran, dass du es für [mm] 1/2^k [/mm] und nicht für [mm] 1/n^2 [/mm] gemacht hattest, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:43 Sa 14.11.2009 | | Autor: | TNA-619 |
> Hier hast du doch eine geometrische Reihe
> [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^k[/mm]
> vorliegen
Du hast dich wohl verlesen ;)
Es geht um [mm]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}[/mm]
Tipp:
Es gilt:
[mm]\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k(k-1)} [/mm]für [mm] k\geq 2[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Sa 14.11.2009 | | Autor: | LariC |
Also wäre folgender Ansatz soweit korrekt>?
[mm] \summe_{k=1}^{n} 1/k^2 [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{m} 1/k^2 [/mm] = [mm] \summe_{k=m}^{n} 1/k^2 [/mm] < [mm] \summe_{k=m}^{n} 1/k^2-k [/mm] für k>=2
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Hallo!
Der Tipp
[mm] $\frac{1}{k^{2}} [/mm] < [mm] \frac{1}{k*(k-1)}$
[/mm]
war anders gedacht...
Man macht Partialbruchzerlegung und erhält:
[mm] $\frac{1}{k*(k-1)} [/mm] = [mm] \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$
[/mm]
Wenn du nun deine Summe genau anschaust, erkennst du, dass sich haufenweise Brüche wegkürzen.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Sa 14.11.2009 | | Autor: | LariC |
Das ist jetzt bestimmt blöd, aber was kann ich denn dann bei den beiden Summen kürzen:
Gemeint sind doch:
[mm] \summe_{k=m}^{n} 1/k^2 [/mm] < [mm] \summe_{k=m}^{n} [/mm] 1/k-1 - 1/k
oder?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 Sa 14.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm bitte den Formeleditor oder wenigstens Klammern.
schreib doch mal ein paar glieder der Reihe an. etwa ab k=2
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:05 So 15.11.2009 | | Autor: | LariC |
Ich versuche es mal:
Also dann hätten wir da auf jeden Fall stehen:
[mm] (1/4)+(1/9)+(1/16)+...+(1/n^2) [/mm] < (1/2)+ (1/6)+(1/12)+...+((1/n-1)-(1/n))
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Hallo LariC,
> [mm](1/4)+(1/9)+(1/16)+...+(1/n^2)[/mm] < (1/2)+
> (1/6)+(1/12)+...+((1/n-1)-(1/n))
Mhh... Du hast die Summenglieder rechts gleich ausgerechnet, das soll natürlich nicht so gemacht werden. Sieh doch mal:
[mm] $\summe_{k=m}^{n}\frac{1}{k^{2}} [/mm] < [mm] \summe_{k=m}^{n}\frac{1}{k*(k-1)} [/mm] = [mm] \summe_{k=m}^{n}\frac{1}{k-1} [/mm] - [mm] \frac{1}{k}$
[/mm]
$= [mm] \left(\frac{1}{m-1} - \frac{1}{m}\right) [/mm] + [mm] \left(\frac{1}{(m+1)-1} - \frac{1}{m+1}\right) [/mm] + [mm] \left(\frac{1}{(m+2)-1} - \frac{1}{m+2}\right) [/mm] + ... + [mm] \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right)$
[/mm]
$= [mm] \left(\frac{1}{m-1} - \frac{1}{m}\right) [/mm] + [mm] \left(\frac{1}{m} - \frac{1}{m+1}\right) [/mm] + [mm] \left(\frac{1}{m+1} - \frac{1}{m+2}\right) [/mm] + ... + [mm] \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right)$
[/mm]
... Fällt dir nichts auf 
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 So 15.11.2009 | | Autor: | LariC |
Aso...ich glaube ich habe es kapiert: Hier
[mm]= \left(\frac{1}{m-1} - \frac{1}{m}\right) + \left(\frac{1}{m} - \frac{1}{m+1}\right) + \left(\frac{1}{m+1} - \frac{1}{m+2}\right) + ... + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right)[/mm]
würde dann doch nur das erste und das letzte Glied stehen bleiben, also:
(1/m-1 - 1/n)
Also wäre folgendes :
[mm] \summe_{k=m}^{n} 1/k^2 [/mm] < (1/m-1 - 1/n)
Ist das richtig so?
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Hallo!
> Aso...ich glaube ich habe es kapiert: Hier
> [mm]= \left(\frac{1}{m-1} - \frac{1}{m}\right) + \left(\frac{1}{m} - \frac{1}{m+1}\right) + \left(\frac{1}{m+1} - \frac{1}{m+2}\right) + ... + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right)[/mm]
>
> würde dann doch nur das erste und das letzte Glied stehen
> bleiben, also:
>
> (1/m-1 - 1/n)
>
> Also wäre folgendes :
>
> [mm]\summe_{k=m}^{n} 1/k^2[/mm] < (1/m-1 - 1/n)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau so sollte es sein! Nun noch eine läppische Abschätzung, und dann ist es auch kleiner als [mm] \epsilon [/mm] 
Grüße,
Stefan
PS.: Du solltest deine Artikel als Fragen, nicht als Mitteilungen deklarieren, sonst merkt vielleicht keiner, dass du noch eine Frage hast!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 So 15.11.2009 | | Autor: | LariC |
Ok...dann stelle ich doch gleich nochmal eine Frage zu dieser "läppische Abschätzung", wie sie hier einfach Mal genannte wird:(
Also ich hätte jetzt folgendes daraus gemacht:
[mm]= \left(\frac{1}{m-1} - \frac{1}{m}\right) + \left(\frac{1}{m} - \frac{1}{m+1}\right) + \left(\frac{1}{m+1} - \frac{1}{m+2}\right) + ... + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right)[/mm]
= (1/m-1 - 1/n)
< 1/m
< [mm] \varepsilon
[/mm]
Reicht das? ist damit die konvergenz bewiesen?
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Hallo!
> Ok...dann stelle ich doch gleich nochmal eine Frage zu
> dieser "läppische Abschätzung", wie sie hier einfach Mal
> genannte wird:(
Tut mir leid, ich wollte dich mit "läppisch" nicht irgendwie beleidigen
> Also ich hätte jetzt folgendes daraus gemacht:
>
> [mm]= \left(\frac{1}{m-1} - \frac{1}{m}\right) + \left(\frac{1}{m} - \frac{1}{m+1}\right) + \left(\frac{1}{m+1} - \frac{1}{m+2}\right) + ... + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right)[/mm]
>
> = (1/m-1 - 1/n)
>
> < 1/m
> < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Reicht das? ist damit die konvergenz bewiesen?
Naja - es fehlt noch ein wenig Exaktheit. Bedenke, dass die Summe prinzipiell erstmal in einem Betrag steht.
Du fängst so an: Seien $n,m [mm] \in\IN$, [/mm] o.E. (und damit der folgende Ausdruck Sinn macht) ist $n [mm] \ge [/mm] m$, zu zeigen:
Da alle Summanden positiv sind, kann man das Betragszeichen weglassen, bzw.:
$ [mm] \left|\summe_{k=m}^{n}\frac{1}{k^{2}}\right| \le \summe_{k=m}^{n}\left|\frac{1}{k^{2}}\right| [/mm] = [mm] \summe_{k=m}^{n}\frac{1}{k^{2}}< \summe_{k=m}^{n}\frac{1}{k\cdot{}(k-1)}= \summe_{k=m}^{n}\left(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\right) [/mm] = [mm] \frac{1}{m-1} [/mm] - [mm] \frac{1}{n} [/mm] < [mm] \frac{1}{m-1}$,
[/mm]
da [mm] $\frac{1}{n} [/mm] > 0\ [mm] \forall n\in\IN$. [/mm] Und nun ist
[mm] $\frac{1}{m-1} [/mm] < [mm] \epsilon$, [/mm] wenn
$m > [mm] \frac{1}{\epsilon}+1$, [/mm] d.h. es existiert für jedes [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] $N\in\IN$, [/mm] sodass für alle $n [mm] \ge [/mm] m > N$ gilt: [mm] $\left|\sum_{k=m}^{n}\frac{1}{k^{2}}\right| [/mm] < [mm] \epsilon$. [/mm] Cauchy-Kriterium erfüllt.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:33 So 15.11.2009 | | Autor: | LariC |
Ja...macht so langsam Sinn - aber ich muss das jetzt alles noch einmal in Ruhe durchdenken. Mir ist jetzt auch klar, warum ich die - 1 nicht einfach aus dem Nenner machen kannn, nagut...
Aber ich wünschte ich könnte das selber...ich muss das jetzt dringend üben - habe ja noch ein paar Aufgaben mehr.
Vielen, vielen Dank erstmal!
Und sooooo falsch war meine Abschätzung dann ja garnicht ...
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