Konvergenz/Divergenz Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
wenn ich nun die Folge [mm] a_n [/mm] = [mm] \wurzel{kn-1}-\wurzel{n} [/mm] mit [mm] k,n\in\IN [/mm] und k>2 habe
und möchte diese auf Divergenz/Konvergenz untersuchen.
So, dann dachte ich, dass ich mit der binomischen Folge auf
[mm] \bruch{kn-1-n}{\wurzel{kn-1}+\wurzel{n}} [/mm] komme.
Und dann weiter auf:
[mm] \bruch{\bruch{kn}{\wurzel{n}}-\bruch{1}{\wurzel{n}}-\bruch{n}{\wurzel{n}}}{\wurzel{k-\bruch{1}{n}}+1}
[/mm]
Tja, und nun, bin ich damit überhaupt auf dem richtigen Weg?
Danke,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:33 Di 06.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
> So, dann dachte ich, dass ich mit der binomischen Folge auf
> [mm]\bruch{kn-1-n}{\wurzel{kn-1}+\wurzel{n}}[/mm] komme.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Gute Idee ...
> Und dann weiter auf:[mm]\bruch{\bruch{kn}{\wurzel{n}}-\bruch{1}{\wurzel{n}}-\bruch{n}{\wurzel{n}}}{\wurzel{k-\bruch{1}{n}}+1}[/mm]
Nun kann man zusammenfassen: [mm] $\bruch{n}{\wurzel{n}} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{n}$ [/mm] ...
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
also wäre dann
[mm] \bruch{\bruch{kn}{\wurzel{n}}-\bruch{1}{\wurzel{n}}-\bruch{n}{\wurzel{n}}}{\wurzel{k-\bruch{1}{n}}+1} [/mm]
= [mm] \bruch{\wurzel{k-\bruch{1}{n}-1}}{\wurzel{k-\bruch{1}{n}}+1} [/mm] ?
Also der Grenzwert = 0?
Danke,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 Di 06.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Wie kommst Du hier auf die eine große Wurzel im Zähler? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
[mm] $$\bruch{\bruch{k*n}{\wurzel{n}}-\bruch{1}{\wurzel{n}}-\bruch{n}{\wurzel{n}}}{\wurzel{k-\bruch{1}{n}}+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(k-1)*\wurzel{n}-\bruch{1}{\wurzel{n}}}{\wurzel{k-\bruch{1}{n}}+1} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
irgendwie stehe ich gerade auf der Leitung....wie genau bist Du von
[mm]\bruch{\bruch{k*n}{\wurzel{n}}-\bruch{1}{\wurzel{n}}-\bruch{n}{\wurzel{n}}}{\wurzel{k-\bruch{1}{n}}+1} \ [/mm]
auf [mm]= \ \bruch{(k-1)*\wurzel{n}-\bruch{1}{\wurzel{n}}}{\wurzel{k-\bruch{1}{n}}+1} \ = \ ...[/mm]
gekommen?
Danke,
Anna
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Anna,
ich schreibe nur den Zähler auf...
$\red{\bruch{k\cdot{}n}{\wurzel{n}}}-\bruch{1}{\wurzel{n}}\red{-\bruch{n}{\wurzel{n}}}=\red{\left(\bruch{k\cdot{}n}{\wurzel{n}}-\bruch{n}{\wurzel{n}}\left)}-\bruch{1}{\wurzel{n}}$
$=\red{\left[\frac{n}{\sqrt{n}}\cdot{}(k-1)\right]}-\frac{1}{\sqrt{n}}=\red{\left[\frac{\sqrt{n}\cdot{}\sqrt{n}}{\sqrt{n}}\cdot{}(k-1)\right]}-\frac{1}{\sqrt{n}}=\red{\left[\sqrt{n}\cdot{}(k-1)\right]}-\frac{1}{\sqrt{n}}$
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
ach klar, logisch. Danke!
Dennoch weiß ich gerade nicht so wirklich, wie ich jetzt bzgl. Konvergenz/Divergenz weiter mit
$ = \ [mm] \bruch{(k-1)\cdot{}\wurzel{n}-\bruch{1}{\wurzel{n}}}{\wurzel{k-\bruch{1}{n}}+1} [/mm] \ = \ ... $
vorgehe.
Danke,
Anna
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> Dennoch weiß ich gerade nicht so wirklich, wie ich jetzt
> bzgl. Konvergenz/Divergenz weiter mit
> [mm]= \ \bruch{(k-1)\cdot{}\wurzel{n}-\bruch{1}{\wurzel{n}}}{\wurzel{k-\bruch{1}{n}}+1} \ = \ ...[/mm]
>
> vorgehe.
Hallo,
lasse nun n gegen [mm] \infty [/mm] laufen, und guck', was die Terme, die n enthalten, machen.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
danke für Deine Antwort. Also kann ich das nun doch schon machen.
OK.
Also [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] geht gegen 0, ebenso wie [mm] \bruch{1}{n}, [/mm]
aber was ist mit [mm] (k-1)*\wurzel{n}? [/mm] unendlich?
Gruß,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:49 Di 06.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Genau ...
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
also ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{\infty-0}{\infty+1} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
die Folge somit also konvergent?
Danke,
Anna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:16 Di 06.05.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Ich meine natürlich divergent.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:17 Di 06.05.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> also ist
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = [mm]\bruch{\infty-0}{\infty+1}[/mm] =
> [mm]\infty[/mm]
>
> die Folge somit also konvergent?
Nur zum letzten Teil: Der Nenner in deinem Bruch ist doch nicht korrekt. Der Grenzwert ist es dann wieder. Aber dann ist die Folge doch divergent, oder sprecht ihr auch von Konvergenz gegen [mm]\infty[/mm]?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo Dieter,
ich meinte natürlich divergent, hatte mich verschrieben.
Was den Nenner betrifft:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{(k-1)\cdot{}\wurzel{n}-\bruch{1}{\wurzel{n}}}{\wurzel{k-\bruch{1}{n}}+1}
[/mm]
=
[mm] \bruch{\infty-0}{\wurzel{k}+1}
[/mm]
Stimmt das so, oder wie ist das mit [mm] \wurzel{k-\bruch{1}{n}}+1 [/mm] ?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:45 Di 06.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
> Was den Nenner betrifft:
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = [mm]\bruch{(k-1)\cdot{}\wurzel{n}-\bruch{1}{\wurzel{n}}}{\wurzel{k-\bruch{1}{n}}+1}[/mm] = [mm]\bruch{\infty-0}{\wurzel{k}+1}[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Di 06.05.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Loddar,
super. DANKE.
Gruß,
Anna
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