Konvergenz/Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 00:21 Do 16.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Sei [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] eine konvergent Reihe positiver Zahlen und [mm] r_{n}:=\summe_{i=n}^{\infty} a_{i} [/mm] das n-te Restglied. Beweisen [mm] Sie:\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_{n}}{\wurzel{r_{n}}} [/mm] ist konvergent und [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_{n}}{r_{n}} [/mm] ist nicht konvergent. |
Guten Abend,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter und habe so angefangen:
[mm] 1.\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_{n}}{r_{n}}: [/mm] Ich habe zwei Ansätze versucht.
1.Quotientenkriterium: Sei [mm] x_{n}=\bruch{a_{n}}{r_{n}}.Dann [/mm] ist
[mm] \bruch{x_{n+1}}{x_{n}}=...=\bruch{a_{n+1}*r_{n}}{r_{n+1}*a_{n}}=\bruch{a_{n+1}*(\summe_{i=n}^{\infty} a_{i})}{(\summe_{i=n+1}^{\infty} a_{i})*a_{n}}=\bruch{a_{n+1}*a_{n}+a_{n+1}*(a_{n+1}+a_{n+2}+...)}{a_{n+1}*a_{n}+a_{n}*(a_{n+2}+a_{n+3}...)} [/mm]
Und jetzt müsste ich zeigen, dass das [mm] \ge [/mm] 1 ist, aber da bin ich nicht mehr weitergekommen.
2.Ansatz: Ich zeige dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{n}}{r_{n}} \not=0 [/mm] ist, aber da kann irgendetwas nicht stimmen, denn ich komme auf den grenzwert 0.
Zu [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_{n}}{\wurzel{r_{n}}}:
[/mm]
Da die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] konvergent ist, folgt schonmal, dass [mm] a_{n} [/mm] gegen Null konvergiert. Ich hab jetzt versucht die verschiedenen Konvergenzkriterien zu verwenden,aber keines hat mir weitergeholfen.
Wie gehe ich denn am besten an die Aufgabe heran?
Vielen Dank
lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Do 16.06.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Moin Mandy,
> Sei [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] eine konvergent Reihe
> positiver Zahlen und [mm]r_{n}:=\summe_{i=n}^{\infty} a_{i}[/mm] das
> n-te Restglied. Beweisen [mm]Sie:\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_{n}}{\wurzel{r_{n}}}[/mm] ist konvergent.
Es ist [mm] \sqrt{r_n}=\sqrt{\summe_{i=n}^{\infty} a_{i}}\geq\sqrt{a_n}.
[/mm]
Also gilt [mm] \frac{a_n}{\sqrt{r_n}}\leq\frac{a_n}{\sqrt{a_n}}=\sqrt{a_n}.
[/mm]
Also ist die Reihe [mm] \sum_{n=1}^\infty\sqrt{a_n} [/mm] eine Majorante von [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{a_{n}}{\wurzel{r_{n}}}.
[/mm]
Versuche einmal Konvergenz von dieser Majorante zu zeigen.
EDIT: Sorry, dass funktioniert natürlich nicht. Gegenbeispiel: [mm] \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}
[/mm]
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 So 19.06.2011 | | Autor: | statler |
Hallo allerseits,
hat hier denn niemand einen zündenden Gedanken? Es mag Mandy nicht mehr helfen, aber mich würde auch interessieren, mit welchem Dreh man dieser Aufgabe beikommt. Also Epsilontiker, zeigt euch!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Dieter!
> Hallo allerseits,
> hat hier denn niemand einen zündenden Gedanken? Es mag
> Mandy nicht mehr helfen, aber mich würde auch
> interessieren, mit welchem Dreh man dieser Aufgabe
> beikommt. Also Epsilontiker, zeigt euch!
> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
$\sum\limits_{i=n}^{n+m} \frac{a_i}{r_i} \geq \frac{1} r_{n}}\sum\limits_{i=n}^{n+m} a_i = \frac{r_{n} -r_{n+m+1}}{r_{n}} = 1-\frac{r_{n+m+1}}{r_{n}}$ ($>\frac{1}{2}$ für ein gewisses $m$).
Dass $\sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{a_i}{\sqrt{r_i}}$ konvergent ist, erkennt man an den Ungleichungen
$\frac{a_i}{\sqrt{r_i}} < \frac{a_i}{\sqrt{\zeta_i}} = 2(\sqrt{r_i}-\sqrt{r_{i+1}})$ mit einem gewissen $\zeta_i \in (r_{i+1},r_i)$ (Mittelwertsatz der
Differentialrechnung auf $2\sqrt{x}$) und an der Konvergenz der Reihe $\sum\limits_{i=1}^{\infty} 2(\sqrt{r_i}-\sqrt{r_{i+1}})$.
LG mathfunnel
|
|
|
|
