Konvergenz/Div -1^n-1 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 Sa 25.12.2010 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Zu untersuchen gilt die Summe
[mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{n-1} [/mm] |
Hallo alle zusammen
Also ich habe bei der Untersuchung der Ableitung von [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{(x)^{n}}{n} [/mm] -> [mm] \bruch{n*(x)^{n-1}}{n} [/mm] auf die oben genannte Problemstellung gekommen, ich bitte um Rat!
Beide Summen (Ableitung sowie Ausgangsfunktion) haben Konvergenz-Radius R=1
Summe 1 (Ausgangsfunktion)
[mm] \bruch{(x)^{n}}{n} [/mm] ->
Konvergiert jedoch in folgendem Raum [-1,1)
x=1 -> harmonische Reihe
x=-1 -> konv. durch Leibniz
Summe 2:
[mm] \bruch{n*(x)^{n-1}}{n} [/mm] untersuche ich nun in den Extremen x=1 und x=-1
in x=1
[mm] \summe_{i=1}^{n} (1)^{n-1} [/mm] -> keine konv. (hier habe ich nicht groß nachgedacht, da 1+1+1.. nichts interessantes ergeben kann)
in x=-1
[mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{n-1} [/mm] ->
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |a_{n+1} [/mm] / [mm] a_n [/mm] |=
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{(-1)^n}{(-1)^{n-1}}| [/mm] = 1
also kann ich keine Aussage über den Punkt -1 machen, somit ist der Raum in welchem ich konv. habe: (-1,1)
Stimmt vor allem der Weg, mit welchem ich auf das Ergebnis gekommen bin?
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Huhu Zuggel,
deine Überlegungen stimmen soweit, allerdings ist die letzte Überlegung recht sinnlos....
> in x=-1
> [mm]\summe_{i=1}^{n} (-1)^{n-1}[/mm] ->
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |a_{n+1}[/mm] / [mm]a_n[/mm] |=
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{(-1)^n}{(-1)^{n-1}}|[/mm] =
> 1
Welches Kriterium soll das sein? Quotientenkriterium? Dann könntest du hier erstmal noch gar keine Aussage über die Konvergenz der Reihe machen, denn für 1 kann alles passieren.
Aber: Deine Folge [mm] $(-1)^n [/mm] $ ist doch noch nichtmal eine Nullfolge, also ist ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz der Reihe gar nicht erfüllt, also kann die Reihe nicht konvergent sein!
edit: Ich bin jetzt ganz dreist davon ausgegangen, dass du mit:
[mm] $\summe_{i=1}^{n}$ [/mm] eigentlich [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}$ [/mm] gemeint hast.
Aufpassen mit deinen Indizes!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Zuggel |
> > in x=-1
> > [mm]\summe_{i=1}^{n} (-1)^{n-1}[/mm] ->
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |a_{n+1}[/mm] / [mm]a_n[/mm] |=
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{(-1)^n}{(-1)^{n-1}}|[/mm]
> =
> > 1
>
> Welches Kriterium soll das sein? Quotientenkriterium? Dann
> könntest du hier erstmal noch gar keine Aussage über die
> Konvergenz der Reihe machen, denn für 1 kann alles
> passieren.
Also ja es war das Quotientenkriterium. Nun ich war bis jetzt der Meinung, dass wenn ich durch Quotientenkriterium oder Wurzelkr. den Wert =1 herausbekomme, dass ich dann keine Aussage über die konv. machen kann. Dass jetzt "alles passieren" kann, ist mir neu! Wie sollte ich in so einem Fall vorgehen? Dass ich jetzt vorerst das Quot.kr. angewandt habe ist jetzt nicht sonderlich schlimm, oder?
>
> Aber: Deine Folge [mm](-1)^n[/mm] ist doch noch nichtmal eine
> Nullfolge, also ist ein notwendiges Kriterium für die
> Konvergenz der Reihe gar nicht erfüllt, also kann die
> Reihe nicht konvergent sein!
>
Also wie kommst du jetzt auf die Nullfolge? Ich verstehe nicht so ganz den Zusammenhang. Denn ein "notwendiges Kriterium" für die konv. einer Reihe ist es wohl nicht, dass es eine Nullfolge sein muss, damit ich konv. habe. Oder?
> edit: Ich bin jetzt ganz dreist davon ausgegangen, dass du
> mit:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] eigentlich [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] gemeint
> hast.
> Aufpassen mit deinen Indizes!
>
Genau, vielen Dank. Aber im Code Geschnipsel und anschließendem Durchlesen übersieht man so etwas immer sehr sehr leicht,tut mir leid.
Angemerkt sei natürlich, dass das hier keine Hausaufgabe ist o.ä., die Übung wurde während der Vorlesung angeschnitten und mehr Schlecht als Recht erklärt!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> > > in x=-1
> > > [mm]\summe_{i=1}^{n} (-1)^{n-1}[/mm] ->
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |a_{n+1}[/mm] / [mm]a_n[/mm] |=
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{(-1)^n}{(-1)^{n-1}}|[/mm]
> > =
> > > 1
> >
> > Welches Kriterium soll das sein? Quotientenkriterium? Dann
> > könntest du hier erstmal noch gar keine Aussage über die
> > Konvergenz der Reihe machen, denn für 1 kann alles
> > passieren.
>
> Also ja es war das Quotientenkriterium. Nun ich war bis
> jetzt der Meinung, dass wenn ich durch Quotientenkriterium
> oder Wurzelkr. den Wert =1 herausbekomme, dass ich dann
> keine Aussage über die konv. machen kann. Dass jetzt
> "alles passieren" kann, ist mir neu! Wie sollte ich in so
> einem Fall vorgehen? Dass ich jetzt vorerst das Quot.kr.
> angewandt habe ist jetzt nicht sonderlich schlimm, oder?
>
>
> >
> > Aber: Deine Folge [mm](-1)^n[/mm] ist doch noch nichtmal eine
> > Nullfolge, also ist ein notwendiges Kriterium für die
> > Konvergenz der Reihe gar nicht erfüllt, also kann die
> > Reihe nicht konvergent sein!
> >
>
> Also wie kommst du jetzt auf die Nullfolge? Ich verstehe
> nicht so ganz den Zusammenhang. Denn ein "notwendiges
> Kriterium" für die konv. einer Reihe ist es wohl nicht,
> dass es eine Nullfolge sein muss, damit ich konv. habe.
> Oder?
doch. Es gilt:
Wenn [mm] $\sum a_n$ [/mm] konvergiert, dann gilt notwendigerweise [mm] $a_n \to 0\,.$ [/mm] (Durch Kontraposition erhält man die äquivalente Aussage: Wenn [mm] $a_n \not\to 0\,,$ [/mm] dann divergiert [mm] $\sum a_n$).
[/mm]
Beachte aber, dass dies ein notwendiges, aber nicht hinreichendes Kriterium für die Konvergenz einer Reihe ist. D.h., wenn Du weißt, dass [mm] $a_n \to [/mm] 0$ nicht gilt, dann kann auch [mm] $\sum a_n$ [/mm] nicht konvergieren (denn obiger Satz besagt dann ja gerade, dass dafür [mm] $a_n \to [/mm] 0$ gelten müsste).
Wenn Du allerdings weißt, dass [mm] $a_n \to 0\,,$ [/mm] so weißt Du noch nichts über das Konvergenzverhalten der Reihe [mm] $\sum a_n\,.$ [/mm] Es gibt nämlich divergente Reihen [mm] $\sum a_n\,,$ [/mm] die auch [mm] $a_n \to [/mm] 0$ erfüllen:
Etwa [mm] $\sum 1/n\,.$
[/mm]
Und bei Dir:
Bei
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty (-1)^k$$
[/mm]
ist [mm] $a_k=(-1)^k$ [/mm] und wegen [mm] $|a_k|=|(-1)^k|=|-1|^k=1^k=1 \not\to [/mm] 0$ kann daher [mm] $\sum a_k$ [/mm] nicht konvergieren.
P.S.:
Eigentlich ist's ein wenig schade, denn die Folge
[mm] $$\Big(\sum_{k=1}^n (-1)^n\Big)_n \equiv (n*(-1)^n)_n$$
[/mm]
fände ich sogar minimal interessanter (sie ist solange interessanter, bis man die obige Identität eingesehen hat). 
P.P.S.:
Ein anderes Argument dafür, dass [mm] $\sum_{k=1}^\infty (-1)^k$ [/mm] nicht konvergieren kann, kann man auch leicht finden. Denn
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty (-1)^k$$
[/mm]
steht eigentlich zunächst nur symbolisch für die Folge [mm] $(s_n)_n$ [/mm] ihrer Teilsummen
[mm] $$(s_n)_{n \in \IN} \equiv (\sum_{k=1}^n (-1)^k)_{n \in \IN}\,,$$
[/mm]
und für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt
[mm] $$s_n=\begin{cases} -1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}\,,$$
[/mm]
woraus ersichtlich wird, dass [mm] $(s_n)_{n \in \IN}$ [/mm] genau zwei Häufungspunkte hat und daher nicht mehr konvergent sein kann.
(Zur Erinnerung: Für eine Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] steht [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n$ [/mm] zunächst nur symbolisch für die Folge [mm] $(s_n)_n$ [/mm] der Teilsummen [mm] $s_n:=\sum_{k=1}^n a_k\,,$ [/mm] d.h.
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty a_k :\equiv \Big(\sum_{k=1}^n a_k\Big)_{n \in \IN} \equiv (s_n)_{n \in \IN}\,.$$ [/mm]
Falls nun [mm] $(s_n)_n$ [/mm] auch konvergiert, so kommt dem Zeichen [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] auch noch eine weitere Bedeutung hinzu:
Dann kann [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] auch für [mm] $\lim_{n \to \infty} s_n$ [/mm] verwendet werden. Wann das Zeichen welche Bedeutung hat, sollte sich allerdings stets aus dem Zusammenhang erklären - und sollte dies mal nicht aus dem Zusammenhang klar sein, so sollte es explizit erwähnt werden.)
Übrigens: Aus Gründen der Schreibfaulheit habe ich oben an einigen Stellen bei den [mm] $\sum$-Zeichen [/mm] die Indizes gespart.
Beste Grüße,
Marcel
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Huhu,
noch als Ergänzung, worauf Marcel nicht eingegangen ist:
> Also ja es war das Quotientenkriterium. Nun ich war bis
> jetzt der Meinung, dass wenn ich durch Quotientenkriterium
> oder Wurzelkr. den Wert =1 herausbekomme, dass ich dann
> keine Aussage über die konv. machen kann.
Genau. Dann kann doch eben "alles" passieren, wenn du keine genaue Aussgage machen kannst.
Die Reihe kann absolut konvergieren, sie kann (nicht absolut) konvergieren und sie kann divergieren.
Damit ist doch "alles" abgedeckt, was eine Reihe so machen kann.
Damit du es siehst, ein paar Beispiele:
Divergenz: [mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}$
[/mm]
Konvergenz: [mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n}{n}$
[/mm]
abs. Konvergenz [mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^2}$
[/mm]
Bei allen Folgen liefert dir das Quotientenkriterum 1
> Dass jetzt
> "alles passieren" kann, ist mir neu! Wie sollte ich in so
> einem Fall vorgehen? Dass ich jetzt vorerst das Quot.kr.
> angewandt habe ist jetzt nicht sonderlich schlimm, oder?
Jetzt weißt dus
Und nein, schlimm ist in der Mathematik gar nix, es bringt dich nur nicht weiter.
Achja, dass du das notwendige Kriterium [mm] $a_n \to [/mm] 0$ nicht kennst, wundert mich.
Damit begründet man doch eben gerade, dass wenn beim Quotientenkriterium ein Wert grösser als 1 herauskommt, Divergenz der Reihe vorliegt!
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Do 30.12.2010 | | Autor: | Zuggel |
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> Achja, dass du das notwendige Kriterium [mm]a_n \to 0[/mm] nicht
> kennst, wundert mich.
> Damit begründet man doch eben gerade, dass wenn beim
> Quotientenkriterium ein Wert grösser als 1 herauskommt,
> Divergenz der Reihe vorliegt!
>
Tja ich bin jetzt immer noch am überlegen, was das ist. Ich kenne die Bedingung, dass [mm] a_n [/mm] -> 0 geht nur aus dem Leibniz Kriterium. Dass es notwendig für konvergenz ist, ist mir jetzt etwas unklar.
Ich erinnere mich an die Aussage bei einer Serie [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n }{n^2} [/mm] dass diese konvergiert, weil im Nenner das [mm] n^2 [/mm] steht. Ist das praktisch das Kriterium, auf das ihr mich gerade hinweist?
Wir haben kurz schematisch folgendes durchgemacht: Wurzel + Quot. kriterium., Leibniz, Weierstrass, Potenzreihen: absolute + pw Konvergenz.
Der Ausdruck Trivilakriterium verwirrt mich jetzt, was ist das denn nun?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Do 30.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zuggel!
Es ist für alle (unendlichen) Reihen [mm]\sum_{k=1}^{\infty}a_k[/mm] ein notwendiges Kriterium, dass es sich bei der aufzusummierenden Folge [mm]a_k[/mm] um eine Nullfolge handelt.
Anderenfalls wird diese unendliche Summe doch (betragsmäßig) immer größer und wächst über alle Grenzen; die Reihe wäre dann unbeschränkt und damit divergent.
Man kann also immer sagen: [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}a_k \ \not= \ 0 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \sum_{k=1}^{\infty}a_k \ \text{ist divergent}[/mm] .
(Die Umkehrung gilt nicht.)
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:54 Do 30.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Loddar,
> Hallo Zuggel!
>
>
> Es ist für alle (unendlichen) Reihen
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty}a_k[/mm] ein notwendiges Kriterium, dass es
> sich bei der aufzusummierenden Folge [mm]a_k[/mm] um eine Nullfolge
> handelt.
>
> Anderenfalls wird diese unendliche Summe doch
> (betragsmäßig) immer größer und wächst über alle
> Grenzen; die Reihe wäre dann unbeschränkt und damit
> divergent.
die Argumentation wird so meist nicht benutzt, weil sie "nur" mit einer gewissen Einschränkung gilt:
So kann man bspw. argumentieren, wenn ALLE Folgenglieder [mm] $\ge [/mm] 0$ sind (oder alle bis auf endlich viele - da wird dann die Teilsummenfolge irgendwann [mm] $\ge [/mm] 0$ sein). Die "bessere" Argumentation läuft mittels Cauchyfolgen. Denn wenn [mm] $|a_n| [/mm] > [mm] \epsilon [/mm] > 0$ für unendlich viele [mm] $n\,,$ [/mm] so ist Deine Argumentation (bspw.) auf
[mm] $$\sum (-1)^n |a_n|$$
[/mm]
(bzw. allgemeiner auf Reihen der Art [mm] $\sum (-1)^{n_k} |a_k|$) [/mm] nicht so wirklich einfach anzuwenden - oder siehst Du da eine Möglichkeit?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Do 30.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> >
> > Achja, dass du das notwendige Kriterium [mm]a_n \to 0[/mm] nicht
> > kennst, wundert mich.
> > Damit begründet man doch eben gerade, dass wenn beim
> > Quotientenkriterium ein Wert grösser als 1 herauskommt,
> > Divergenz der Reihe vorliegt!
> >
>
> Tja ich bin jetzt immer noch am überlegen, was das ist.
> Ich kenne die Bedingung, dass [mm]a_n[/mm] -> 0 geht nur aus dem
> Leibniz Kriterium. Dass es notwendig für konvergenz ist,
> ist mir jetzt etwas unklar.
das liegt an der Vollständigkeit von [mm] $\IR:$...
[/mm]
Edit: Wichtig: Das war Quatsch, bzw. etwas zu viel verlangt. In Wahrheit liegt es einfach nur an der Tatsache, dass eine konvergente Folge notwendigerweise eine Cauchyfolge ist!!!
Die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] konvergiert genau dann, wenn sie (d.h. die Folge der Teilsummen [mm] $\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)_{n \in \IN}$) [/mm] eine Cauchyfolge ist.
(Der letzte Satz stimmt so deshalb, weil [mm] $(\IR,|.|)$ [/mm] vollständig ist. Benötigt wird hier aber eigentlich nur das folgende:)
Die Konvergenz von [mm] $\sum a_k\,,$ [/mm] also die Konvergenz von [mm] $\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)_{n \in \IN}$, [/mm] impliziert, dass diese Folge als konvergente Folge auch eine Cauchyfolge ist. D. h. dass es zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] gibt, so dass FÜR ALLE $n,m [mm] \ge [/mm] N$ (o.E. $m [mm] \le [/mm] n$) dann
[mm] $$\left|\sum_{k=1}^n a_k -\sum_{k=1}^m a_k\right|=\left|\sum_{k=m+1}^n a_k\right| [/mm] < [mm] \epsilon$$
[/mm]
gilt. Für $n=m+1$ also insbesondere
[mm] $$|a_{m+1}|=|a_n| [/mm] < [mm] \epsilon\,,$$
[/mm]
also [mm] $a_n \to 0\,.$
[/mm]
(Also: Konvergenz von [mm] $\sum a_k$ [/mm] impliziert die Cauchyfolgeneigenschaft von [mm] $\sum a_k$ [/mm] und diese wiederum [mm] $a_n \to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$).)
[/mm]
Loddars Argument kann man so nicht einfach benutzen; jedenfalls sehe ich da das Problem der "unterschiedlichen Vorzeichen" bei den Summanden. Man kann dann vielleicht die Reihe in einen Anteil von "positiven Summanden" und in einen von "negativen Summanden" zerlegen.
Geht man alerdings davon aus, dass [mm] $a_n \not\to [/mm] 0$ UND zudem [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ für alle [mm] $n\,$ [/mm] gilt, so kann man sagen:
Es gibt sicher ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ derart, dass [mm] $|a_n| \ge a_n [/mm] > [mm] \epsilon$ [/mm] für unendlich viele [mm] $n\,,$ [/mm] also hat [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine Teilfolge [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] so, dass [mm] $|a_{n_k}|=a_{n_k} [/mm] > [mm] \epsilon$ [/mm] für alle [mm] $k\,.$ [/mm] Daraus folgt dann für jedes [mm] $n_p$ ($n_p$ [/mm] ist das p-te Glied "der Teilfolge [mm] $(n_k)_k$ [/mm] von [mm] $(n)_{n \in \IN}$"):
[/mm]
[mm] $$\sum_{k=1}^{n_p} a_{k} \ge \sum_{l=1}^{p} a_{n_l} [/mm] > p [mm] \;*\;\epsilon\,,$$
[/mm]
und damit die bestimmte Divergenz von [mm] $\sum a_k$ [/mm] gegen [mm] $+\infty\,.$
[/mm]
(Beachte: [mm] $n_p \to \infty$ [/mm] für $p [mm] \to \infty\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 Mo 27.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Zuggel,
> Also wie kommst du jetzt auf die Nullfolge? Ich verstehe
> nicht so ganz den Zusammenhang. Denn ein "notwendiges
> Kriterium" für die konv. einer Reihe ist es wohl nicht,
> dass es eine Nullfolge sein muss, damit ich konv. habe.
> Oder?
Vielleicht ist es bei Euch nicht vorgekommen, denn die meisten finden das Kriterium so selbstverständlich, dass es den schönen Namen ![[]](/images/popup.gif) Trivialkriterium trägt.
Die verlinkte Seite ist mehr ein Wikipedia-Verteiler, bietet aber eine ganz gute Übersicht über die Konvergenzkriterien. Allerdings ist keine Verlinkung zu einer Seite zum Trivialkriterium dabei; Wikipedia hat keine.
Grüße
reverend
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