Konvergenz 6 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 So 17.02.2013 | | Autor: | Tyson |
| Aufgabe | Leute wieder eine Konvergenz Aufgabe bei der ich feststecke:
Welche der folgenden Reihen konvergieren?
[mm] \summe_{k=1}^{unendlich } \bruch{1}{1+k+k^{\bruch{5}{2}}}
[/mm]
Ich hab dazu eine Majorante gefunden:
[mm] \bruch{1}{k^n}
[/mm]
Aber ich weiss nicht wie ich weiter vorgehen soll. |
nicht gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 So 17.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Leute wieder eine Konvergenz Aufgabe bei der ich
> feststecke:
> Welche der folgenden Reihen konvergieren?
>
> [mm]\summe_{k=1}^{unendlich } \bruch{1}{1+k+k^{\bruch{5}{2}}}[/mm]
>
>
> Ich hab dazu eine Majorante gefunden:
>
> [mm]\bruch{1}{k^n}[/mm]
So lange du über n nicht näheres sagst, kann das eine Majorante oder eine Minorante sein. Mit n=2 kannst du etwas anfangen.
Zeige, dass [mm]\bruch{1}{k^2}> \bruch{1}{1+k+k^{\bruch{5}{2}}}[/mm] gilt.
Gruß Abakus
>
> Aber ich weiss nicht wie ich weiter vorgehen soll.
> nicht gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 So 17.02.2013 | | Autor: | Tyson |
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> > Leute wieder eine Konvergenz Aufgabe bei der ich
> > feststecke:
> > Welche der folgenden Reihen konvergieren?
> >
> > [mm]\summe_{k=1}^{unendlich } \bruch{1}{1+k+k^{\bruch{5}{2}}}[/mm]
>
> >
> >
> > Ich hab dazu eine Majorante gefunden:
> >
> > [mm]\bruch{1}{k^n}[/mm]
> So lange du über n nicht näheres sagst, kann das eine
> Majorante oder eine Minorante sein. Mit n=2 kannst du etwas
> anfangen.
> Zeige, dass [mm]\bruch{1}{k^2}> \bruch{1}{1+k+k^{\bruch{5}{2}}}[/mm]
> gilt.
> Gruß Abakus
>
>
>
> >
> > Aber ich weiss nicht wie ich weiter vorgehen soll.
> > nicht gestellt
>
[mm] 1+k+k^{5/2} -k^2 [/mm] > 0
So in etwa?
Aber wie gehe ich weiter vor?
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Hallo,
> [mm]1+k+k^{5/2} -k^2[/mm] > 0
>
> So in etwa?
Ja.
Mach' es nicht so kompliziert.
Du weißt: Für $n > m$ und $x > 1$ gilt
[mm] $x^{n} [/mm] > [mm] x^{m}$.
[/mm]
Mach dir das klar. Links wird mehr multipliziert als rechts, und mit jeder Multiplikation wird der Term größer. Das muss in einer Klausur nicht begründet werden.
Damit gilt
[mm] $k^{5/2} [/mm] > [mm] k^2$
[/mm]
und daher erst recht
$1 + k + [mm] k^{5/2} [/mm] > [mm] k^2$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 So 17.02.2013 | | Autor: | Tyson |
> Hallo,
>
>
> > [mm]1+k+k^{5/2} -k^2[/mm] > 0
> >
> > So in etwa?
>
> Ja.
>
>
> Mach' es nicht so kompliziert.
> Du weißt: Für [mm]n > m[/mm] und [mm]x > 1[/mm] gilt
>
> [mm]x^{n} > x^{m}[/mm].
>
>
> Mach dir das klar. Links wird mehr multipliziert als
> rechts, und mit jeder Multiplikation wird der Term
> größer. Das muss in einer Klausur nicht begründet
> werden.
>
> Damit gilt
>
> [mm]k^{5/2} > k^2[/mm]
>
> und daher erst recht
>
> [mm]1 + k + k^{5/2} > k^2[/mm].
>
>
>
> Viele Grüße,
> Stefan
Aha ok das wars schon oder wie?
Aber eine sache müsst ihr mir erklären warum haben wir für n=2 genommen?
Warum nicht 3 oder 4?
Woher weiss ich was ich nehmen soll?
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Hallo,
> Aha ok das wars schon oder wie?
Ja.
> Aber eine sache müsst ihr mir erklären warum haben wir
> für n=2 genommen?
>
> Warum nicht 3 oder 4?
> Woher weiss ich was ich nehmen soll?
Wenn du eine Reihe hast, musst du immer als erstes entscheiden wie du die Konvergenz / Divergenz nachweisen willst. Als erstes sollte man immer überprüfen, ob die Reihenglieder eine Nullfolge bilden (notwendiges Kriterium).
Danach guckt man, ob Exponentialterme / Fakultäten drin vorkommen --> Quotienten/Wurzelkriterium.
Stehen Terme der Form [mm] (-1)^{n} [/mm] drin, Leibniz-Kriterium.
Bestehen die Reihenglieder nur aus Polynomen in der Laufvariable (oder Sachen, die noch langsamer wachsen wie Logarithmus), dann muss meistens das Minoranten oder Majorantenkriterium ran.
Du musst dann zunächst überprüfen, ob du Konvergenz oder Divergenz nachweisen möchtest. Dazu schaue dir die Reihenglieder an und gucke, ob sie schneller oder langsamer als [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] fallen. Wenn sie schneller fallen, dann liegt Konvergenz vor und es muss mit dem Majorantenkriterium nach oben abgeschätzt werden.
Bei dir lag vor:
[mm] $\frac{1}{1+k+k^{5/2}}$.
[/mm]
Wir wollen nach oben durch etwas abschätzen, was immer noch konvergiert (und dann das Majorantenkriterium benutzen). Dazu:
[mm] $\frac{1}{1+k+k^{5/2}} \le \frac{1}{k^\alpha}$ [/mm] mit [mm] $\alpha [/mm] > 1$.
Wir können zum Beispiel [mm] $\alpha [/mm] = 2$ wählen, dann klappt das mit dem Abschätzen, weil [mm] $k^{5/2} [/mm] > [mm] k^2$ [/mm] ist. Wir hätten NICHT [mm] $\alpha [/mm] = 3$ oder [mm] $\alpha [/mm] = 4$ wählen können, weil wir dann gilt:
[mm] $\frac{1}{1+k+k^{5/2}} [/mm] > [mm] \frac{1}{k^3}$
[/mm]
Also genau die falsche Richtung.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 17.02.2013 | | Autor: | Tyson |
danke leute.
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