Konvergenz - richtig so? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Sa 03.12.2005 | | Autor: | roxy |
Hallo,
kann jemand bitte überprüfen, ob ich die folgende Aufgabe richtig gelöst habe?:
"Beweise Konvergenz (mit Angabe einer konvergenten Majoranten, oder Divergenz:
a) [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(\frac{5}{k})^k
[/mm]
b) [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\frac{k^5-4k^2}{k^5+k}
[/mm]
ich weiss, dass
für [mm] |a_{k}| \le c_{k} [/mm] und [mm] \summe_{k=1}^{\infty}c_{k} [/mm] - konvergent, dann ist auch [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{k} [/mm] absolut konvergent
[mm] \Rightarrow
[/mm]
a) [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(\frac{5}{k})^k
[/mm]
| [mm] a_{k}| [/mm] = | [mm] (\frac{5}{k})^k [/mm] | > [mm] (\frac{1}{k})^k [/mm] > 0 [mm] (k\in\IN] \Rightarrow \summe_{i=1}^{\infty}(\frac{5}{k})^k [/mm] ist divergent und hat [mm] (\frac{1}{k})^k [/mm] als Minorant
b) [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\frac{k^5-4k^2}{k^5+k}
[/mm]
[mm] \frac{k^5-4k^2}{k^5+k} [/mm] = [mm] \frac{1-\frac{4}{k^3}}{1+\frac{1}{k^4}} [/mm] < [mm] \frac{1}{1+ \frac{1}{k^4}} [/mm] < 1 [mm] \Rightarrow \summe_{i=1}^{\infty}\frac{k^5-4k^2}{k^5+k} [/mm] ist absolut konvergent
mit Majorant [mm] \frac{1}{1+ \frac{1}{k^4}}
[/mm]
ist das richtig so?
Danke!
roxy
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Sa 03.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo roxy
> Hallo,
> kann jemand bitte überprüfen, ob ich die folgende Aufgabe
> richtig gelöst habe?:
> "Beweise Konvergenz (mit Angabe einer konvergenten
> Majoranten, oder Divergenz:
>
> a) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(\frac{5}{k})^k[/mm]
> b) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\frac{k^5-4k^2}{k^5+k}[/mm]
>
> ich weiss, dass
> für [mm]|a_{k}| \le c_{k}[/mm] und [mm]\summe_{k=1}^{\infty}c_{k}[/mm] -
> konvergent, dann ist auch [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_{k}[/mm]
> absolut konvergent
Das muss aber nicht für alle k gelten, sondern nur ab irgend einem endlichen N, und dann für alle k>N!
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> a) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(\frac{5}{k})^k[/mm]
Du meinst doch die Summe über k?
> | [mm]a_{k}|[/mm] = | [mm](\frac{5}{k})^k[/mm] | > [mm](\frac{1}{k})^k[/mm] > 0
> [mm](k\in\IN] \Rightarrow \summe_{i=1}^{\infty}(\frac{5}{k})^k[/mm]
> ist divergent und hat [mm](\frac{1}{k})^k[/mm] als Minorant
warum divergiert denn [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(\frac{1}{k})^k
[/mm]
das konvergiert doch! also keine Minorante!
> b) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\frac{k^5-4k^2}{k^5+k}[/mm]
> [mm]\frac{k^5-4k^2}{k^5+k}[/mm] =
> [mm]\frac{1-\frac{4}{k^3}}{1+\frac{1}{k^4}}[/mm] < [mm]\frac{1}{1+ \frac{1}{k^4}}[/mm]
> < 1 [mm]\Rightarrow \summe_{i=1}^{\infty}\frac{k^5-4k^2}{k^5+k}[/mm]
> ist absolut konvergent
>
> mit Majorant [mm]\frac{1}{1+ \frac{1}{k^4}}[/mm]
die [mm] a_{k} [/mm] konvergieren doch schon gegen 1, Die Summe muss also divergieren! Irgndwie hast du Konvergenz der Folge [mm] c_{k} [/mm] (hier gegen 1) mit der Konvergenz der Reihe durcheinander gebracht.
> ist das richtig so?
Leider nicht! guck die Reihen noch mal an!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Sa 03.12.2005 | | Autor: | roxy |
> Hallo roxy
> > Hallo,
> > kann jemand bitte überprüfen, ob ich die folgende
> Aufgabe
> > richtig gelöst habe?:
> > "Beweise Konvergenz (mit Angabe einer konvergenten
> > Majoranten, oder Divergenz:
> >
beide Summe gehen über k
a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\frac{5}{k})^k[/mm]
b) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\frac{k^5-4k^2}{k^5+k}[/mm]
> >
> > ich weiss, dass
> > für [mm]|a_{k}| \le c_{k}[/mm] und [mm]\summe_{k=1}^{\infty}c_{k}[/mm] -
> > konvergent, dann ist auch [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_{k}[/mm]
> > absolut konvergent
> Das muss aber nicht für alle k gelten, sondern nur ab
> irgend einem endlichen N, und dann für alle k>N!
> > [mm]\Rightarrow[/mm]
> > a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\frac{5}{k})^k[/mm]
> Du meinst doch die Summe über k?
> > | [mm]a_{k}|[/mm] = | [mm](\frac{5}{k})^k[/mm] | > [mm](\frac{1}{k})^k[/mm] > 0
> > [mm](k\in\IN] \Rightarrow \summe_{i=1}^{\infty}(\frac{5}{k})^k[/mm]
> > ist divergent und hat [mm](\frac{1}{k})^k[/mm] als Minorant
>
> warum divergiert denn
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(\frac{1}{k})^k[/mm]
> das konvergiert doch! also keine Minorante!
zwar konvergiert mein [mm] c_{k}, [/mm] aber die 2. Bedienung: [mm] a_{k} \le c_{k} [/mm] ist nicht erfüllt (| [mm]a_{k}|[/mm] = | [mm](\frac{5}{k})^k[/mm] | > [mm](\frac{1}{k})^k[/mm] > 0)...deswegen hab ich angenommen, dass die Reihe divergiert?!...
> > b) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\frac{k^5-4k^2}{k^5+k}[/mm]
> > [mm]\frac{k^5-4k^2}{k^5+k}[/mm] =
stimmt, mein [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \frac{1-\frac{4}{k^3}}{1+\frac{1}{k^4}} [/mm] konvergiert gegen 1, das hab ich gar nicht gesehen...muss mir die Reihe nochmals ansehen!
Vielen Dank
> > [mm]\frac{1-\frac{4}{k^3}}{1+\frac{1}{k^4}}[/mm] < [mm]\frac{1}{1+ \frac{1}{k^4}}[/mm]
> > < 1 [mm]\Rightarrow \summe_{i=1}^{\infty}\frac{k^5-4k^2}{k^5+k}[/mm]
> > ist absolut konvergent
> >
> > mit Majorant [mm]\frac{1}{1+ \frac{1}{k^4}}[/mm]
> die [mm]a_{k}[/mm]
> konvergieren doch schon gegen 1, Die Summe muss also
> divergieren! Irgndwie hast du Konvergenz der Folge [mm]c_{k}[/mm]
> (hier gegen 1) mit der Konvergenz der Reihe durcheinander
> gebracht.
> > ist das richtig so?
> Leider nicht! guck die Reihen noch mal an!
> Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 Fr 09.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Du könntest es zum Beispiel so machen:
Für $k [mm] \ge [/mm] 6$ gilt:
[mm] $\left( \frac{5}{k} \right)^k \le \left( \frac{5}{6} \right)^k$,
[/mm]
und die (geometrische) Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty} q^k$ [/mm] mit $q:= [mm] \frac{5}{6} [/mm] <1$ konvergiert, also auch [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \left( \frac{5}{k} \right)^k$, [/mm] nach dem Majorantenkriterium.
Liebe Grüße
Julius
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