Konvergenz - Warum und wie? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Sa 24.01.2009 | | Autor: | PirmA |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Folgen [mm] a_{n} [/mm] n [mm] \varepsilon [/mm] N auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls den Grenzwert.
a) [mm] a_{0}=0, a_{n+1}=\bruch{3}{4}a_{n}+\bruch{1}{4} [/mm] |
Also meine Fragen ist, wie mach ich das??? Falls man irgendetwas erweitern muss, warum macht man das und woran erkennt man mit welchem Term man die Aufgabe erweiterm muss (hab ma irgendwo gelesen dass man das muss, bin mir aber nicht sicher).
Am besten eine ausführliche Lösung mit allen Rechenschritten und am besten noch ne gute Erklärung :P
Ist viel verlangt wäre euch aber echt dankbar. Die Klausur steht bald an :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Untersuchen Sie die Folgen [mm]a_{n}[/mm] n [mm]\varepsilon[/mm] N auf
> Konvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls den Grenzwert.
> a) [mm]a_{0}=0, a_{n+1}=\bruch{3}{4}a_{n}+\bruch{1}{4}[/mm]
> Also
> meine Fragen ist, wie mach ich das??? Falls man irgendetwas
> erweitern muss, warum macht man das und woran erkennt man
> mit welchem Term man die Aufgabe erweiterm muss (hab ma
> irgendwo gelesen dass man das muss, bin mir aber nicht
> sicher).
>
> Am besten eine ausführliche Lösung mit allen
> Rechenschritten und am besten noch ne gute Erklärung :P
> Ist viel verlangt wäre euch aber echt dankbar. Die Klausur
> steht bald an :(
Hallo Cornelius,
so ein bißchen etwas erwarten wir zunächst von dir
selber. Du kannst doch einmal ein paar Glieder der
Folge berechnen und eine Vermutung aufstellen, ob
die Folge einen Grenzwert haben könnte oder nicht.
Du kannst dir auch folgende Überlegung machen:
falls es einen Grenzwert g gibt/gäbe, dann müsste
für grosse n der Wert von [mm] a_n [/mm] sehr nahe bei g liegen.
Daraus kann man eine Gleichung für g erhalten.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 So 25.01.2009 | | Autor: | PirmA |
Also ich würde vermuten dass es keinen Grenzwert gibt, da der Bruch [mm] \bruch{3}{4}a [/mm] gegen Unendlich geht. Den Bruch [mm] +\bruch{1}{4} [/mm] kann man vernachlässigen, weil er nur sehr kleine ist und keine Variabel besitzt. Aber ich könnte es nicht aufschreiben, geschweige denn mathematisch ausdrücken.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 So 25.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo PirmA,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Das stimmt so nicht. Schließlich wird durch den Term [mm] $\bruch{3}{4}*a_{\red{n}}$ [/mm] das vorherige Glied zunächst verkleinert!
Untersuche, ob diese Folge sowohl monoton als auch beschränkt ist (z.B. mittels vollständiger Induktion). Daraus folgt dann unmittelbar die Konvergenz.
Den Grenzwert $g_$ erhält man über den Ansatz $g \ := \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 So 25.01.2009 | | Autor: | PirmA |
Ok danke schonmal soweit. Aber wiebekomm ich denn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] raus?
Muss ich einfach [mm] \bruch{3}{4}a_{n+1}=\bruch{3}{4}a_{n} [/mm] rechnen?
Der Limes heisst doch läuft zu, oder konvergiert zu, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 So 25.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo PirmA!
Die Bestimmungsgleichung für den gesuchten Grenzwert $g_$ ergibt sich unmittelbar aus der rekursiven Folgenvorschrift:
[mm] $$a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{4}*a_n+\bruch{1}{4}$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow [/mm] \ \ g \ = \ [mm] \bruch{3}{4}*g+\bruch{1}{4}$$
[/mm]
Dies gilt aber nur, wenn Du bereits nachgewiesen hast, dass diese Folge auch wirklich konvergiert (siehe meine obige Antwort).
Gruß
Loddar
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