Konvergenz (-1)^n,Gerade, < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 So 09.11.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei [mm] b_n =\frac{1+(-1)^n n^2}{2+3n+n^2} [/mm] (n [mm] \in \IN)
[/mm]
Entscheiden Sie welche der Eigenschaften beschränkt, konvergent bzw. divergent für die gegebebene Folge vorliegt. Bestimmen Sie im Fall der Konvergenz den Grenzwert. |
Hallo,
Ich habe eine Frage die in meinen Repetitorium aufgetaucht ist.
[mm] b_1=0
[/mm]
[mm] b_2=\frac{5}{12}
[/mm]
[mm] b_3=-\frac{2}{5}
[/mm]
[mm] b_4=\frac{17}{30}
[/mm]
[mm] b_5=-\frac{4}{7}
[/mm]
Ich hatte die Vermutung [mm] b_{2n} [/mm] -> + [mm] \infty
[/mm]
[mm] b_{2n+1} [/mm] -> [mm] -\infty
[/mm]
Aber wenn ich [mm] b_{2n}= \frac{1+(-1)^{2n} (2n)^2}{2+3(2n)+(2n)^2}=\frac{1+4n^2}{2+6n+4n^2}
[/mm]
und da hätte nun [mm] b_{2n} [/mm] den Grenzwert 1. War also meine Vermutung falsch oder darf man das nicht so aufschreiben?
Beschränkt ist das ganze nach oben von 1:
[mm] b_n =\frac{1+(-1)^n n^2}{2+3n+n^2} [/mm] < 1
[mm] \gdw 1+(-1)^n n^2 [/mm] < 2 +3n + [mm] n^2 [/mm] (Nenner>0)
Fall n [mm] gerade:1+n^2 [/mm] < [mm] 2+3n+n^2 \gdw [/mm] 0 <1+3n wahre Aussage
Fall n [mm] ungerade:1-n^2 [/mm] < [mm] 2+3n+n^2 \gdw [/mm] 0 < [mm] 1+3n+2n^2 [/mm] wahre Aussage
LG,
sissi
|
|
| |
|
> Sei [mm]b_n =\frac{1+(-1)^n n^2}{2+3n+n^2}[/mm] (n [mm]\in \IN)[/mm]
>
> Entscheiden Sie welche der Eigenschaften beschränkt,
> konvergent bzw. divergent für die gegebebene Folge
> vorliegt. Bestimmen Sie im Fall der Konvergenz den
> Grenzwert.
> Hallo,
> Ich habe eine Frage die in meinen Repetitorium aufgetaucht
> ist.
>
> [mm]b_1=0[/mm]
> [mm]b_2=\frac{5}{12}[/mm]
> [mm]b_3=-\frac{2}{5}[/mm]
> [mm]b_4=\frac{17}{30}[/mm]
> [mm]b_5=-\frac{4}{7}[/mm]
>
> Ich hatte die Vermutung [mm]b_{2n}[/mm] -> + [mm]\infty[/mm]
> [mm]b_{2n+1}[/mm] -> [mm]-\infty[/mm]
Naja, Vermutungen ...
> Aber wenn ich [mm]b_{2n}= \frac{1+(-1)^{2n} (2n)^2}{2+3(2n)+(2n)^2}=\frac{1+4n^2}{2+6n+4n^2}[/mm]
>
> und da hätte nun [mm]b_{2n}[/mm] den Grenzwert 1. War also meine
> Vermutung falsch oder darf man das nicht so aufschreiben?
Notieren kannst du dies so:
[mm] $\lim_{n\to\infty}b_{\,2n}\ [/mm] =\ 1$
und deine erste Vermutung war offenbar falsch.
> Beschränkt ist das ganze nach oben von 1:
> [mm]b_n =\frac{1+(-1)^n n^2}{2+3n+n^2}[/mm] < 1
> [mm]\gdw 1+(-1)^n n^2[/mm] < 2 +3n + [mm]n^2[/mm] (Nenner>0)
> Fall n [mm]gerade:1+n^2[/mm] < [mm]2+3n+n^2 \gdw[/mm] 0 <1+3n wahre Aussage
> Fall n [mm]ungerade:1-n^2[/mm] < [mm]2+3n+n^2 \gdw[/mm] 0 < [mm]1+3n+2n^2[/mm] wahre
> Aussage
Ich denke, du solltest dich vor allem noch um das Verhalten
der Teilfolge der Glieder mit ungeraden Indices kümmern.
Falls diese Folge auch konvergent sein sollte, kannst du
alle gestellten Fragen beantworten, ohne noch weitere
Schranken zu suchen.
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 So 09.11.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Danle für deine Antwort.
[mm] lim_{n->\infty} b_{2n+1} [/mm] =-1
Es gilt ja der Satz: Sei [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Folge. [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] konvergiert genau dann, wenn jede Teilfolge konvergiert. Der Grenzwert der Folge stimmt mit den Grenzwerten ihrer Teilfolgen überein.
Sagt mir der Satz dann schon, dass [mm] (b_n)_{n\in \IN} [/mm] divergent ist? Oder brauche ich dazu ein anderes Argument?
Liebe Grüße,
sissi
|
|
|
| |
|
> Hallo,
> Danke für deine Antwort.
>
> [mm]lim_{n->\infty} b_{2n+1}[/mm] =-1
> Es gilt ja der Satz: Sei [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge.
> [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] konvergiert genau dann, wenn jede Teilfolge
> konvergiert. Der Grenzwert der Folge stimmt mit den
> Grenzwerten ihrer Teilfolgen überein.
>
> Sagt mir der Satz dann schon, dass [mm](b_n)_{n\in \IN}[/mm]
> divergent ist? Oder brauche ich dazu ein anderes Argument?
Das ist soweit schon richtig. Eine Folge, die (unendliche)
konvergente Teilfolgen mit unterschiedlichen Grenzwerten hat,
kann nicht konvergent sein (also einen bestimmten Grenzwert
haben).
Hallo sissi
da also die Teilfolge der Glieder mit geraden Nummern gegen 1
und die Teilfolge der Glieder mit ungeraden Nummern gegen -1
konvergiert, gibt es keinen Grenzwert für die Folge aller Glieder.
Die Folge $\ [mm] _{n \in \IN}$ [/mm] ist also nicht konvergent.
Trotzdem ist sie (wenigstens) beschränkt. Die Begründung
dazu solltest du noch angeben.
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 So 09.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Sei [mm]b_n =\frac{1+(-1)^n n^2}{2+3n+n^2}[/mm] (n [mm]\in \IN)[/mm]
>
> Entscheiden Sie welche der Eigenschaften beschränkt,
> konvergent bzw. divergent für die gegebebene Folge
> vorliegt. Bestimmen Sie im Fall der Konvergenz den
> Grenzwert.
> Hallo,
> Ich habe eine Frage die in meinen Repetitorium aufgetaucht
> ist.
>
> [mm]b_1=0[/mm]
> [mm]b_2=\frac{5}{12}[/mm]
> [mm]b_3=-\frac{2}{5}[/mm]
> [mm]b_4=\frac{17}{30}[/mm]
> [mm]b_5=-\frac{4}{7}[/mm]
>
> Ich hatte die Vermutung [mm]b_{2n}[/mm] -> + [mm]\infty[/mm]
> [mm]b_{2n+1}[/mm] -> [mm]-\infty[/mm]
>
> Aber wenn ich [mm]b_{2n}= \frac{1+(-1)^{2n} (2n)^2}{2+3(2n)+(2n)^2}=\frac{1+4n^2}{2+6n+4n^2}[/mm]
>
> und da hätte nun [mm]b_{2n}[/mm] den Grenzwert 1. War also meine
> Vermutung falsch oder darf man das nicht so aufschreiben?
>
> Beschränkt ist das ganze nach oben von 1:
> [mm]b_n =\frac{1+(-1)^n n^2}{2+3n+n^2}[/mm] < 1
> [mm]\gdw 1+(-1)^n n^2[/mm] < 2 +3n + [mm]n^2[/mm] (Nenner>0)
> Fall n [mm]gerade:1+n^2[/mm] < [mm]2+3n+n^2 \gdw[/mm] 0 <1+3n wahre Aussage
> Fall n [mm]ungerade:1-n^2[/mm] < [mm]2+3n+n^2 \gdw[/mm] 0 < [mm]1+3n+2n^2[/mm] wahre
> Aussage
nur als Ergänzung: Du machst Dir hier das Leben ein wenig zu schwer.
[mm] ($\*$) $\frac{1+(-1)^n n^2}{2+3n+n^2}=\frac{\frac{1}{n^2}+(-1)^n}{\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n}+1}$
[/mm]
zeigt sehr deutlich, dass [mm] $(b_n)_n$ [/mm] divergent ist.
(Du kannst hier übrigens
[mm] $\lim_{n \to \infty}\frac{1+(-1)^n n^2}{2+3n+n^2}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n^2}+(-1)^n}{\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n}+1}=\frac{\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{n^2}+(-1)^n\right)}{\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n}+1}\right)$
[/mm]
NICHT schreiben - warum darfst Du das nicht? Welche der beiden
Gleichheiten ist aber "erlaubt", welche "verboten"?
Aber: Bei *passenden Teilfolgen* kann man wenigstens auf diese Teilfolgen
![[]](/images/popup.gif) Satz 5.5
anwenden!
Nebenbei: Auch die Beschränktheitsfragen lassen sich mit der Form [mm] ($\*$) [/mm] leicht
beantworten...)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:44 Mo 10.11.2014 | | Autor: | sissile |
> ([mm]\*[/mm]) [mm]\frac{1+(-1)^n n^2}{2+3n+n^2}=\frac{\frac{1}{n^2}+(-1)^n}{\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n}+1}[/mm]
>
> zeigt sehr deutlich, dass [mm](b_n)_n[/mm] divergent ist.
>
> (Du kannst hier übrigens
>
> [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{1+(-1)^n n^2}{2+3n+n^2}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n^2}+(-1)^n}{\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n}+1}=\frac{\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{n^2}+(-1)^n\right)}{\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n}+1}\right)[/mm]
>
> NICHT schreiben - warum darfst Du das nicht? Welche der
> beiden
> Gleichheiten ist aber "erlaubt", welche "verboten"?
Hallo
[mm] lim_{n->\infty} \frac{s_n}{t_n} [/mm] = [mm] \frac{lim_{n->\infty} s_n}{lim_{n->\infty} t_n} [/mm] gilt ja nur wenn [mm] (s_n) [/mm] und [mm] (t_n) [/mm] konvergent sind. Genauso bei der Addition.
Bekanntlich ist [mm] ((-1)^n) [/mm] divergent.
> Aber: Bei *passenden Teilfolgen* kann man wenigstens auf
> diese Teilfolgen
>
> Satz 5.5
>
> anwenden!
Ich verstehe nicht, auf was du mich hier aufmerksam machen möchtest bezüglich der Teilfolgen!
Vlt. kannst du mir das näher erklären?
> Nebenbei: Auch die Beschränktheitsfragen lassen sich mit
> der Form ([mm]\*[/mm]) leicht
> beantworten...)
Man sieht, dass -1 < [mm] b_n [/mm] < 1 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
LG,
sissi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Mo 10.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] lima_n/bn =lima_n/limb_n [/mm] nur wenn [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] konvergent, das kannst du also nur für die 2 Teilfolgen [mm] a_{2n} [/mm] und [mm] a_{2n+1} [/mm] machen
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 Di 11.11.2014 | | Autor: | sissile |
Achso, klar ;)
LG,
sissile
|
|
|
|
