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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Di 17.12.2013 | | Autor: | Lila_1 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Reihe
f(x) = [mm] \summe_{j=1}^{\infty} \bruch{x^2}{1+x^2}*(\bruch{1}{1+x^2})^j
[/mm]
punktweise für alle x [mm] \in \IR [/mm] absolut konvergiert, aber auf [-1;1] nicht gleichmäßig konvergiert. Berechnen Sie f(x). Ist die Funktion stetig? |
Hallo,
meine Idee um die gleichmäßige Konvergenz zubestimmen ist, dass ich die Grenzfunktion bestimme:
[mm] f_n(x)= \limes_{j\rightarrow\infty}= \begin{cases} 0, & \mbox{für } x = \mbox{ 1,-1} \\ \bruch{x^2}{1+x^2}, & \mbox{für } \mbox{ 1 > x > -1} \end{cases}, [/mm] weil ja es an einer Stelle unstetg ist, ist die Funktion nicht gleichmäßig konvergent.
Stimmt das?
Könntet ihr mir noch sagen, wie man die erste Aussage beweisen kann, also das mit punktweise absolut konvergent?
Gruß lila
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Di 17.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass die Reihe
> f(x) = [mm]\summe_{j=1}^{\infty} \bruch{x^2}{1+x^2}*(\bruch{1}{1+x^2})^j[/mm]
>
> punktweise für alle x [mm]\in \IR[/mm] absolut konvergiert, aber
> auf [-1;1] nicht gleichmäßig konvergiert. Berechnen Sie
> f(x). Ist die Funktion stetig?
> Hallo,
> meine Idee um die gleichmäßige Konvergenz zubestimmen
> ist, dass ich die Grenzfunktion bestimme:
> [mm]f_n(x)= \limes_{j\rightarrow\infty}= \begin{cases} 0, & \mbox{für } x = \mbox{ 1,-1} \\ \bruch{x^2}{1+x^2}, & \mbox{für } \mbox{ 1 > x > -1} \end{cases},[/mm]
> weil ja es an einer Stelle unstetg ist, ist die Funktion
> nicht gleichmäßig konvergent.
> Stimmt das?
Nein. Was Du oben getrieben hast , ist mir völlig schleierhaft.
>
> Könntet ihr mir noch sagen, wie man die erste Aussage
> beweisen kann, also das mit punktweise absolut konvergent?
Für x=0 ist die Reihe $ [mm] \summe_{j=1}^{\infty} \bruch{x^2}{1+x^2}\cdot{}(\bruch{1}{1+x^2})^j [/mm] $ offensichtlich absolut konvergent.
Sei x [mm] \in [/mm] [-1,1] und x [mm] \ne [/mm] 0.
Es ist $ [mm] \summe_{j=1}^{\infty} \bruch{x^2}{1+x^2}\cdot{}(\bruch{1}{1+x^2})^j [/mm] $= [mm] $\bruch{x^2}{1+x^2}* \summe_{j=1}^{\infty}(\bruch{1}{1+x^2})^j [/mm] $ absolut konvergent, weil
[mm] |\bruch{1}{1+x^2}| [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+x^2}<1.
[/mm]
geometrische Reihe !
So, nun berechne Du den Wert S(x) der Reihe $ [mm] \summe_{j=1}^{\infty} \bruch{x^2}{1+x^2}\cdot{}(\bruch{1}{1+x^2})^j [/mm] $= [mm] $\bruch{x^2}{1+x^2}* [/mm] für x [mm] \in [/mm] [-1,1] und x [mm] \ne [/mm] 0.
Wir wissen schon: S(0)=0
Ist S stetig auf [-1,1] ?
Konv. die Reihe gleichmäßig auf [-1,1] ?
FRED
>
> Gruß lila
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Di 17.12.2013 | | Autor: | Lila_1 |
Danke für deine Antwort,
aber leider verstehe ich ab: "So, nun berechnest du...." nicht, warum man nur S(x) betrachen soll und nicht die gesamte Funktion f(x).
und wegen der gleichmäßigen Konvergenz habe ich vergessen zu schreiben, dass ich [mm] f_n(x) [/mm] = [mm] \bruch{x^2}{1+x^2}\cdot{}(\bruch{1}{1+x^2})^j [/mm] definiert habe. Und davon die Grenzfkt. bestimmt habe.
Darf ich, dass nicht für die Gleichmäßige Konvergenz verwendet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Di 17.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Antwort,
> aber leider verstehe ich ab: "So, nun berechnest du...."
> nicht, warum man nur S(x) betrachen soll und nicht die
> gesamte Funktion f(x).
Pardon, ich meinte mit S(x) nichts anderes als f(x)
>
> und wegen der gleichmäßigen Konvergenz habe ich vergessen
> zu schreiben, dass ich [mm]f_n(x)[/mm] =
> [mm]\bruch{x^2}{1+x^2}\cdot{}(\bruch{1}{1+x^2})^j[/mm] definiert
> habe. Und davon die Grenzfkt. bestimmt habe.
Es geht doch um die Reihe !!!!
FRED
> Darf ich, dass nicht für die Gleichmäßige Konvergenz
> verwendet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Di 17.12.2013 | | Autor: | Lila_1 |
Aber als wir das Thema Konvergenz der Reihe behandelt haben, musste man doch die Folge der Partialsummen betrachten und diese dann gegen unendlich laufen lassen. Genau danach hab ich das hier eigtl. auch gemacht, nur das hier der Grenzwert vom x abhängt.
Ist der Gedanke falsch?
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Hallo,
> Aber als wir das Thema Konvergenz der Reihe behandelt
> haben, musste man doch die Folge der Partialsummen
> betrachten und diese dann gegen unendlich laufen lassen.
Das brauchst du hier doch nicht, du hast mit [mm] $\sum\limits_{j=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+x^2}\right)^j$ [/mm] doch eine lupenreine geometrische Reihe.
Für deren Wert kennst du doch eine Formel ...
Beachte, dass hier der Laufindex j bei $j=1$ startet ...
> Genau danach hab ich das hier eigtl. auch gemacht, nur das
> hier der Grenzwert vom x abhängt.
> Ist der Gedanke falsch?
Natürlich hängt das von x ab ...
Was kommt raus? $f(x)=....$
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Do 19.12.2013 | | Autor: | Lila_1 |
Danke für deine Hilfe,
wenn ich nur die geometrische Reihe dieser Aufg. betrachte, dann würde sie ja für x = 0 gegen 1 konvergieren und für x = 1,-1 gegen 0 konvergieren.
Aber wie soll ich anhand der geometrischen Reihe argumentieren, dass sie auf [-1,1] nicht gleichmäßig konvergiert?
Gruß lila
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Hallo,
es geht um
f(x) = [mm] \summe_{j=1}^{\infty} \bruch{x^2}{1+x^2}*(\bruch{1}{1+x^2})^j [/mm] .
> wenn ich nur die geometrische Reihe dieser Aufg. betrachte,
Was meinst Du damit? Redest Du über [mm] \summe_{j=1}^{\infty} (\bruch{1}{1+x^2})^j [/mm] ?
Ich gehe davon aus.
> dann würde sie ja für x = 0 gegen 1 konvergieren
Wie kommst Du darauf?
> und für
> x = 1,-1 gegen 0 konvergieren.
???
Was hast Du gerechnet?
(Weißt Du überhaupt, was eine geometrische Reihe ist?
Wie sieht sie aus, unter welchen Umständen konvergiert sie, was ist in diesem Fall der Grenzwert?)
> Aber wie soll ich anhand der geometrischen Reihe
> argumentieren, dass sie auf [-1,1] nicht gleichmäßig
> konvergiert?
So weit sind wir noch gar nicht.
Wir bräuchten nun erstmal den Reihenwert für jedes x im fraglichen Intervall.
LG Angela
>
> Gruß lila
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