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Guten Morgen allerseits,
hab ein paar fragen zu Fourierreihen:
1. Folgt aus punktweiser Konvergenz von [mm] S_{n}(f) [/mm] gegen f auch die Konvergenz im quadratischen Mittel gegen f?
2. Reicht Stetigkeit aus für Konvergenz im quadratischen Mittel?
3. Es gilt ja, dass das arithmetische Mittel der Fourierpolynome gleichmäßig gegen f konvergiert, also
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}\summe_{m=0}^{n-1} S_{m}(f) [/mm] = f
Also wenn [mm] f_{n}= \bruch{1}{n}\summe_{m=0}^{n-1} S_{m}(f), [/mm] konvergiert [mm] S_{n} [/mm] gleichmäßig gegen f. Dann könnte man das aber für jede Reihe so machen, dass man [mm] f_{n} [/mm] einfach als arithmetisches Mittel von [mm] S_{n} [/mm] nimmt und dann wäre praktisch jede Fourierreihe konvergent. Wo liegt mein Fehler?
Danke schonmal für eure Hilfe.
LG, petapahn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Mi 31.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Guten Morgen allerseits,
> hab ein paar fragen zu Fourierreihen:
> 1. Folgt aus punktweiser Konvergenz von [mm]S_{n}(f)[/mm] gegen f
> auch die Konvergenz im quadratischen Mittel gegen f?
das weiß ich momentan nicht - und ich weiß auch nicht mehr, wie da der
aktuelle Wissensstand ist. Ich lasse daher Deine Frage nachher mal auf
halb beantwortet stehen - Du kannst aber auf jeden Fall mal
![[]](/images/popup.gif) hier: Kapitel 28
durchstöbern.
> 2. Reicht Stetigkeit aus für Konvergenz im quadratischen
> Mittel?
Ja - es gilt dann sogar stärkeres, nämlich die Konvergenz in o.E. [mm] $L^2[0,2\pi]$ [/mm] gegen
"die richtige Funktion":
http://www.metweb.de/lehre/ss09/fourier-vortrag5.pdf
oder
http://www-e.uni-magdeburg.de/bueck/svp06/svphand1.pdf: Satz 2.8
> 3. Es gilt ja, dass das arithmetische Mittel der
> Fourierpolynome gleichmäßig gegen f konvergiert, also
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}\summe_{m=0}^{n-1} S_{m}(f)[/mm] = f
Das ist der
Satz von Fejér, Satz 28.17
> Also wenn [mm]f_{n}= \bruch{1}{n}\summe_{m=0}^{n-1} S_{m}(f),[/mm]
> konvergiert [mm]S_{n}[/mm] gleichmäßig gegen f.
Lies' die zugehörigen Voraussetzungen: Sofern $f [mm] \in C_{2\pi}.$
[/mm]
> Dann könnte man
> das aber für jede Reihe so machen, dass man [mm]f_{n}[/mm] einfach
> als arithmetisches Mittel von [mm]S_{n}[/mm] nimmt und dann wäre
> praktisch jede Fourierreihe konvergent.
??
> Wo liegt mein Fehler?
Vermutlich darin, dass Du einen Satz auf Funktionen anwenden willst, wo
Du aber nicht generell die Voraussetzungen zur Anwendung dieses Satzes
gegeben hast.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Mi 31.07.2013 | | Autor: | petapahn |
Hallo,
danke erstmal.
> Sofern [mm]f \in C_{2\pi}.[/mm]
Das heißt also, dass jede Fourierreihe [mm] S_{n}(f) [/mm] gleichmäßig gegen f konvergiert, sobald [mm] f\in C_{2\pi}? [/mm] Aber dann wäre doch das Kriterium genauso schwach wie Konvergenz im quadratischen Mittel?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Mi 31.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> danke erstmal.
>
> > Sofern [mm]f \in C_{2\pi}.[/mm]
>
> Das heißt also, dass jede Fourierreihe [mm]S_{n}(f)[/mm]
> gleichmäßig gegen f konvergiert, sobald [mm]f\in C_{2\pi}?[/mm]
im Satz von Fejér steht, dass
[mm] $\underbrace{\red{\frac{1}{n+1}}\;\sum_{k=0}^n S_k(f)}_{=:\sigma_n(f)} \to [/mm] f$ bei $n [mm] \to \infty,$ [/mm] glm. auf [mm] $[0,2\pi]$ [/mm] (oder andere abgeschlossene Intervalle der Länge [mm] $2\pi$).
[/mm]
Dabei ist [mm] $S_k(f)$ [/mm] die [mm] $k\,$-te [/mm] Partialsumme der Fourierreihe von [mm] $f\,.$
[/mm]
Beachte dabei den roten Vorfaktor: [mm] $\red{\frac{1}{n+1}}.$ [/mm] (Außerdem steht dort
[mm] $\sum_{k=0}^n S_k(f)$ [/mm] - was sicher was anderes wie [mm] $S_n(f)$ [/mm] oder [mm] $(n+1)*S_n(f)$ [/mm] ist. Man
bildet - für jedes $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] - das arithmetische Mittel der ersten [mm] $n+1\,$ [/mm]
Folgeglieder der Fourierreihe; "dieses Gebilde" sind die [mm] $\sigma_n(f)$!)
[/mm]
Wenn Du nochmal in
http://www.math.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf: Satz 28.7
schaust, wirst Du erkennen, dass dort aus $f [mm] \in C_{2\pi}$ [/mm] nirgendswo gefolgert
wird, dass [mm] $S_n(f) \to [/mm] f$ ($n [mm] \to \infty$) [/mm] glm. gelten würde!
Anders gesagt: Die [mm] $\sigma_n(f)$ [/mm] haben i.a. ein "besseres Konvergenzverhalten"
als die [mm] $S_n(f)$ [/mm] für $f [mm] \in C_{2\pi}.$ [/mm]
(Ich hatte mal eine schöne Vorlesung bei Herrn Luh besucht:
Approximationstheorie. Die Unterlagen dazu finde ich leider nicht mehr,
eventuell kann ich sie mir mal bei einem ehemaligen Kommilitonen holen.
Soweit ich mich erinnere, hat Herr Luh da "derartiges" sehr viel und
allgemeiner behandelt. Da gibt's auf jeden Fall tolle Resultate!!)
> Aber dann wäre doch das Kriterium genauso schwach wie
> Konvergenz im quadratischen Mittel?
Nein: Bei der Konvergenz
[mm] $\|f_n-f\|_{L^2(D)}$
[/mm]
weißt Du noch nichtmal, wenn Du $x [mm] \in [/mm] D$ hast, ob [mm] $f_n(x) \to [/mm] f(x)$ gilt.
Bei [mm] $f_n \to [/mm] f$ gleichmäßig weißt Du, dass für alle $x$ schon [mm] $f_n(x) \to [/mm] f(x)$ gilt (und Du hast
"eine für alle $x$ "in einem gewissen Maße gleich gute Konvergenzgeschwindigkeit" ".
Wenn man gleichmäßige Konvergenz hat, so hat man immer sehr viel zur
Hand: Insbesondere die pktw. Konvergenz "überall".
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:22 Fr 02.08.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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