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Vorrausetzung ist dass das Integral [mm] \integral_{1}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] konvergiert bzw. existiert.
Nun kann man für große x zeigen, dass es ein [mm] \delta [/mm] >0 gibt so dass [mm] \integral_{x}^{x+\delta}{f(x) dx}\ge \delta [/mm] - [mm] ln(1+\delta) [/mm] > 0 ist.
Daraus wird nun gefolgert, dass das Integral oben nicht konvergieren kann, was ich nicht sehe.
Wenn es hilft, [mm] f(x)=\bruch{g(x)-x}{x^2}, [/mm] wobei g(x) wachsend ist.
Habe schon an Cauchyfolge gedacht, jedoch müsste der Wert des Integrals doch größer als [mm] \delta [/mm] sein, oder kann man sich [mm] \delta [/mm] - [mm] ln(1+\delta) [/mm] als ein [mm] \epsilon [/mm] definieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Do 09.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. bist du sicher kein Betragszeichen vergessen zu haben?
[mm] 2.\delta_1=\delta-ln(1+\delta)>\delta^2/2-\delta^3/3..
[/mm]
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Do 09.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Vorrausetzung ist dass das Integral
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{f(x) dx}[/mm] konvergiert bzw.
> existiert.
>
> Nun kann man für große x zeigen, dass es ein [mm]\delta[/mm] >0
> gibt so dass [mm]\integral_{x}^{x+\delta}{f(x) dx}\ge \delta[/mm] -
> [mm]ln(1+\delta)[/mm] > 0 ist.
Was soll das genau bedeuten ?
Bedeutet das: es gibt ein [mm] x_0>1 [/mm] und ein [mm] \delta [/mm] >0 mit [mm]\integral_{x}^{x+\delta}{f(x) dx}\ge \delta[/mm] - [mm]ln(1+\delta)[/mm] für alle x [mm] \ge [/mm] 0 ?
Oder bedeutet das:
es gibt ein [mm] x_0 [/mm] > 1 mit: zu jedem x [mm] \ge x_0 [/mm] gibt es ein [mm] \delta_x>0 [/mm] , so dass
[mm]\integral_{x}^{x+\delta_x}{f(x) dx}\ge \delta_x[/mm] - [mm]ln(1+\delta_x)[/mm] ?
Klär mich auf.
FRED
>
> Daraus wird nun gefolgert, dass das Integral oben nicht
> konvergieren kann, was ich nicht sehe.
> Wenn es hilft, [mm]f(x)=\bruch{g(x)-x}{x^2},[/mm] wobei g(x)
> wachsend ist.
>
> Habe schon an Cauchyfolge gedacht, jedoch müsste der Wert
> des Integrals doch größer als [mm]\delta[/mm] sein, oder kann man
> sich [mm]\delta[/mm] - [mm]ln(1+\delta)[/mm] als ein [mm]\epsilon[/mm] definieren?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 Do 09.08.2012 | | Autor: | lukas10000 |
ja das mit dem Betrag habe ich auch überlegt, denn es wird aber auch argumentiert, dass das integral
[mm] \integral_{x-\delta}^{x}{f(x) dx} [/mm] < 0 ist und daraus auch(!) das Integral dann nicht konvergieren kann.
Habe vergessen zu schreiben, dass das ganze zu einem Widerspruchsbeweis gehört. Hier auf Seite 2, Lemma 1.3
http://www.scribd.com/doc/23871286/The-Prime-Number-Theorem-for-Primes-in-Arithmetic-Progressions
(habe im übrigen oben beim Integral das "=" durch [mm] "\ge" [/mm] ersetzt)
zu fred97: ich weiß es selber nicht genau, versuche dem ganzen ja auf die Spur zu kommen :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Do 09.08.2012 | | Autor: | fred97 |
Was soll das ganze eigentlich ? Ich hab mir den Link mal angesehen und stelle fest, dass das was Du oben in Deiner ersten Frage geschrieben hast, herzlich wenig mit dem zu tun hat, worum es eigentlicht geht.
Insbes. ist mir nicht klar, wie Du auf die Sache mit dem [mm] \delta [/mm] kommst.
ich hab mir den Beweis angesehen, also stell Fragen zu diesem Beweis
FRED
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Hm, also ich dachte mir, dass ich den Beweis nur an Stelle wo aus dem >0 oder <0 folgt, dass das Integral nicht konvergiert nicht verstehe.
Meine Frage zu dem Beweis wäre aber genau dieselbe, wieso aus dem >0 bzw. <0 folgt, dass das Integral nicht konvergieren kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Do 09.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hm, also ich dachte mir, dass ich den Beweis nur an Stelle
> wo aus dem >0 oder <0 folgt, dass das Integral nicht
> konvergiert nicht verstehe.
> Meine Frage zu dem Beweis wäre aber genau dieselbe, wieso
> aus dem >0 bzw. <0 folgt, dass das Integral nicht
> konvergieren kann?
Betrachten wir mal die Sache mit >0.
Da haben wir
[mm] \integral_{x}^{ \lambda x}{..... dx} \ge \integral_{1}^{\lambda}{... dx}> [/mm] 0.
Das rechte Integral ist bis auf eine Konstante = [mm] \integral_{1}^{\lambda}{ \bruch{\lambda -x}{x^2} dx}
[/mm]
Dieses Integral rechne mal aus. Dann siehst Du, dass es gegen [mm] \infty [/mm] strebt für [mm] \lambda \to \infty.
[/mm]
Dann gilt aber auch für das erste Integral: [mm] \integral_{x}^{ \lambda x}{..... dx} \to \infty [/mm] für [mm] \lambda \to \infty.
[/mm]
Das widerspricht aber der Konvergenz des Integrals
[mm] \integral_{x}^{ \infty}{..... dx}
[/mm]
Die Sache mit <0 geht analog.
FRED
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Okay, dann frag ich mich aber wie man auf die Vorrausetzungen [mm] \lambda>1 [/mm] und [mm] \theta(x) \ge \lambda [/mm] x kommt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Sa 11.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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