Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich arbeite gerade ein Stochastikskript, das sehr knapp gehalten ist, durch und bin beim Lemma von Borel-Cantelli auf eine Unklarheit gestoßen.
Da es dort um Konvergenz geht, formuliere ich das mal als reelles Konvergenzproblem um ...
Vor.: [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\alpha_n \ < \ \infty[/mm] mit [mm]0\le\alpha_i\le 1[/mm] für alle [mm]i[/mm]
Nun wird im Beweis ein bisschen abgeschätzt, was auch klar ist; am Ende kommt man auf den zu betrachtenden Ausdruck
[mm]\sum\limits_{k\ge n}\alpha_k[/mm]
Hier wird nun "festgestellt", dass dies für [mm]n\to\infty[/mm] gegen [mm]0[/mm] konvergiert.
Gilt das, weil die Summe im Grenzprozess zur "leeren" Summe wird? Irgendwie sollte man meinem Gefühl nach die Voraussetzung [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\alpha_n \ < \ \infty[/mm] doch einbringen?!
Aber wie genau soll daraus die o.e. Konvergenz gegen 0 folgen?
Danke für kommende Hinweise!
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 Di 03.04.2012 | | Autor: | fred97 |
Moin schachuzipus,
wenn ich es richtig verstanden habe, ist die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\alpha_k [/mm] konvergent.
Für n [mm] \in \IN [/mm] ist
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\alpha_k= \alpha_1+....+\alpha_{n-1}+ \summe_{k=n}^{\infty}\alpha_k
[/mm]
Setzt man [mm] s_n:= \alpha_1+....+\alpha_{n-1}, [/mm] so konvergiert [mm] (s_n) [/mm] gegen [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\alpha_k.
[/mm]
Damit konvergiert die Folge der Reihenreste ( [mm] \summe_{k=n}^{\infty}\alpha_k) [/mm] gegen 0
FREd
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Hallo Fred,
oh Mann, ich wusste, das es nicht soooooooooo schwer sein kann, aber als wir gestern daran saßen, qualmte der Kopf schon so, dass wir wohl betriebsblind waren.
Ich danke dir tüchtig für das Öffnen der Augen!
Bis dann
schachuzipus
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