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| Aufgabe | Sei [mm] $f(x):=\summe_{n=0}^\infty a_nx^n$ [/mm] eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r=1. Es gelte [mm] $\lim_{x\uparrow 1}f(x)=s$. [/mm] Weiter sei [mm] $a_n\geq [/mm] 0$ für alle [mm] $n\in \mathbb{N}_0$. [/mm] Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] $\summe_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] konvergiert mit Grenzwert s.
Hinweis: Verwenden Sie den Abelschen Grenzwertsatz |
Ich habe mir gedacht, dass die Reihe ja auf jeden Fall konvergieren muss, wegen dem Konvergenzradius $r=1$.
Denn dieser sagt ja, dass $f(x)$ im Intervall $[0,1]$ konvergiert, also auch für $x=1$
und aus $x=1$ ergibt sich ja:
[mm] $f(1)=\summe_{n=0}^\infty a_n1^n=\summe_{n=0}^\inftya_n$
[/mm]
ist konvergent.
Stimmt das?
Aber wie mache ich das mit dem Grenzwert.
Und den Abelschen Grenzwertsatz habe ich jetzt ja auch noch nicht angewendet.
Vielen Dank
LG Dudi
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moin Dudi,
Der Konvergenzradius besagt, dass die Reihe auf dem Intervall $(-1,1)$ konvergiert (beachte: offenes Intervall, 1 ist nicht enthalten).
Über das Konvergenzverhalten an den Rändern sagt der Konvergenzradius also überhaupt nichts aus, deshalb kommt dir deine Lösung wohl auch so einfach vor.
lg
Schadow
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Mo 30.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]f(x):=\summe_{n=0}^\infty a_nx^n[/mm] eine Potenzreihe mit
> Konvergenzradius r=1. Es gelte [mm]\lim_{x\uparrow 1}f(x)=s[/mm].
> Weiter sei [mm]a_n\geq 0[/mm] für alle [mm]n\in \mathbb{N}_0[/mm]. Zeigen
> Sie, dass die Reihe [mm]\summe_{n=0}^\infty a_n[/mm] konvergiert mit
> Grenzwert s.
>
> Hinweis: Verwenden Sie den Abelschen Grenzwertsatz
> Ich habe mir gedacht, dass die Reihe ja auf jeden Fall
> konvergieren muss, wegen dem Konvergenzradius [mm]r=1[/mm].
> Denn dieser sagt ja, dass [mm]f(x)[/mm] im Intervall [mm][0,1][/mm]
> konvergiert, also auch für [mm]x=1[/mm]
> und aus [mm]x=1[/mm] ergibt sich ja:
> [mm]f(1)=\summe_{n=0}^\infty a_n1^n=\summe_{n=0}^\inftya_n[/mm]
>
> ist konvergent.
> Stimmt das?
> Aber wie mache ich das mit dem Grenzwert.
> Und den Abelschen Grenzwertsatz habe ich jetzt ja auch
> noch nicht angewendet.
das Deine Lösung falsch war wurde Dir ja schon mitgeteilt.
Die ganze Aufgabe oben ist sehr langweilig, man kann auf die Forderung [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ auch verzichten: Die Voraussetzungen von Satz 65.1, Analysis I, Heuser (das ist gerade dort der Abelsche GWS) sind mit [mm] $r=1\,$ [/mm] erfüllt, so dass
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \to [/mm] s$$
bei $x [mm] \uparrow [/mm] s$ folgt.
Sinnvoll ist diese Aufgabe nicht. Aber evtl. kannst Du ja mal, was sinnvoller wäre, Dir den Beweis des ABGWS anschauen!
Das Durchgestrichene war Quatsch - im Abelschen GWS bräuchte man, salopper gesagt, die "Existenz von $f(1)$". Ich habe hier ein Vermutung:
Offenbar ist $s [mm] \ge \lim_{x \to 1}f(x)\,.$ [/mm] Versuche, zu zeigen, dass [mm] $\sum_n a_n$ [/mm] durch [mm] $s\,$ [/mm] nach oben beschränkt ist. Damit konvergiert [mm] $\sum_n a_n$ [/mm] und der ABGWS liefert alles.
Gruß,
Marcel
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