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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:04 So 11.12.2011
Autor: theresetom

Aufgabe
Konvergiert die Reihe [mm] \sum_{k=0}^{\infty} [/mm] ( [mm] \wurzel{k+1}-\wurzel{k}) [/mm] ?

Hinweise von Tutoren meinten, man solle dass mit Vergleichskriterium machen. Leider kenne ich mich mit dem Kriterium so gar nicht aus.

In der Vorlesung so definiert:
Satz sei [mm] |a_k| \le c_k, \forall [/mm] k [mm] \ge k_0 [/mm] und [mm] \sum_{k=k_0}^{\infty} c_k [/mm] < [mm] \infty [/mm] => [mm] \sum_{k=1}^{\infty} a_k [/mm] konvergiert absoulut.

Wie finde ich eine Reihe die konvergiert und wo die Glieder größer sind als die gegebene?
LG

        
Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 So 11.12.2011
Autor: Valerie20

Hallo!
> Konvergiert die Reihe [mm]\sum_{k=0}^{\infty}[/mm] (
> [mm]\wurzel{k+1}-\wurzel{k})[/mm] ?
>  Hinweise von Tutoren meinten, man solle dass mit
> Vergleichskriterium machen. Leider kenne ich mich mit dem
> Kriterium so gar nicht aus.
>  
> In der Vorlesung so definiert:
> Satz sei [mm]|a_k| \le c_k, \forall[/mm] k [mm]\ge k_0[/mm] und
> [mm]\sum_{k=k_0}^{\infty} c_k[/mm] < [mm]\infty[/mm] => [mm]\sum_{k=1}^{\infty} a_k[/mm]
> konvergiert absoulut.
>  
> Wie finde ich eine Reihe die konvergiert und wo die Glieder
> größer sind als die gegebene?
>  LG

Erweitere zunächst mal das: [mm]\wurzel{k+1}-\wurzel{k}[/mm]

mit: [mm]\wurzel{k+1}+\wurzel{k}[/mm]

Valerie


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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:29 So 11.12.2011
Autor: theresetom


>  > Konvergiert die Reihe [mm]\sum_{k=0}^{\infty}[/mm] ([mm]\wurzel{k+1}-\wurzel{k})[/mm] ?

> Erweitere zunächst mal das: [mm]\wurzel{k+1}-\wurzel{k}[/mm]
>
> mit: [mm]\wurzel{k+1}+\wurzel{k}[/mm]

Hallo ;)
wie meinst du genau? Die ganze Reihe mit dem erweitern oder wie?



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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:39 So 11.12.2011
Autor: Valerie20

Hi!
> >  > Konvergiert die Reihe [mm]\sum_{k=0}^{\infty}[/mm]

> ([mm]\wurzel{k+1}-\wurzel{k})[/mm] ?
>  
> > Erweitere zunächst mal das: [mm]\wurzel{k+1}-\wurzel{k}[/mm]
> >
> > mit: [mm]\wurzel{k+1}+\wurzel{k}[/mm]
>  Hallo ;)
>  wie meinst du genau? Die ganze Reihe mit dem erweitern
> oder wie?
>  
>  

[mm]\sum_{k=0}^{\infty}[/mm][mm]\wurzel{k+1}-\wurzel{k}[/mm]=[mm]\sum_{k=0}^{\infty}[/mm][mm]\bruch{(\wurzel{k+1}-\wurzel{k}) \cdot (\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}})}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}}[/mm]

Valerie



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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:50 So 11.12.2011
Autor: theresetom

Hallo,

und das haben wir und jetzt leichter mit der Erweiterung gemacht? Was
sollte ich den jetzt heraussehen?

LG

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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:53 So 11.12.2011
Autor: Valerie20


> Hallo,
>  
> und das haben wir und jetzt leichter mit der Erweiterung
> gemacht? Was
> sollte ich den jetzt heraussehen?

Ja.
Eine binomische Formel.

>  
> LG


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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:08 So 11.12.2011
Autor: theresetom

[mm] \sum_{k=0}^{\infty} \bruch{(\wurzel{k+1}-\wurzel{k}) \cdot(\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}})}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}} [/mm]

= [mm] \sum_{k=0}^{\infty} \bruch{(\wurzel{k+1})^2-(\wurzel{k})^2}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}} [/mm]

Okay und muss ich jetzt mit Vergleichskriterium herhalten?Oder hat das was mit der Teleskopreihe zu tun?

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 So 11.12.2011
Autor: Valerie20


> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{(\wurzel{k+1}-\wurzel{k}) \cdot(\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}})}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}}[/mm]
>
> = [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{(\wurzel{k+1})^2-(\wurzel{k})^2}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}}[/mm]
>
> Okay und muss ich jetzt mit Vergleichskriterium herhalten?

Du kannst den Zähler doch noch weiter vereinfachen.
Ja, nachdem du den Zähler weiter vereinfacht hast, wendest du das Vergleichskriterium an.



Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:27 So 11.12.2011
Autor: theresetom


>
> > [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{(\wurzel{k+1}-\wurzel{k}) \cdot(\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}})}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}}[/mm]
> >
> > = [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{(\wurzel{k+1})^2-(\wurzel{k})^2}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}}[/mm]

> Du kannst den Zähler doch noch weiter vereinfachen.

meinst so?
[mm] \sum_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}} [/mm]

Und mit welcher Reihe ist das zu vergleichen?
Tut mir leid, dass ich da soviel Fragen muss, aber dass ist meine erste Reihe wo in Konvergenz bestimmen soll!
Danke!

Bezug
                                                                        
Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 So 11.12.2011
Autor: Valerie20


> >
> > > [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{(\wurzel{k+1}-\wurzel{k}) \cdot(\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}})}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}}[/mm]
> > >
> > > = [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{(\wurzel{k+1})^2-(\wurzel{k})^2}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}}[/mm]
>
> > Du kannst den Zähler doch noch weiter vereinfachen.
> meinst so?
>  [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}}[/mm]

[ok]

>  
> Und mit welcher Reihe ist das zu vergleichen?
>  Tut mir leid, dass ich da soviel Fragen muss, aber dass
> ist meine erste Reihe wo in Konvergenz bestimmen soll!
>  Danke!

Schau dir zunächst mal das Majoranten-/Minorantenkriterium an.
Dann musst du die Reihe geeignet abschätzen um mithilfe einer dir bereits bekannten Vergleichsreihe auf die Konvergenz bzw. Divergenz zu schließen.
Fang also so an:

[mm] \bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}} > ......>...... > Vergleichsreihe[/mm]

Valerie



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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 So 11.12.2011
Autor: theresetom

hei danke,

mit der 1/(k*(k+1)) hat es was zu tun oder?

[mm] \bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}}} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\red{k+1}}> \bruch{1}{\red{(k+1)}*k} [/mm]

Nicht schlagen, wenn es blödsinn ist^^



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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:05 So 11.12.2011
Autor: Valerie20


> hei danke,
>  
> mit der 1/(k*(k+1)) hat es was zu tun oder?
>  
> [mm]\bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}}[/mm] >
> [mm]\bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}}}[/mm] > [mm]\bruch{1}{\red{k+1}}> \bruch{1}{\red{(k+1)}*k}[/mm]
>  
> Nicht schlagen, wenn es blödsinn ist^^
>  
>  

Du kannst leicht selbst überprüfen, ob das blödsinn ist, indem du bspweise einfach mal einen Reihenwert nimmst, z.B. k=8 und schaust ob die Abschätzung so funktioniert.


Bezug
                                                                                                
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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 So 11.12.2011
Autor: theresetom


>
> > hei danke,
>  >  
> > mit der 1/(k*(k+1)) hat es was zu tun oder?
>  >  
> > [mm]\bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}}[/mm] >
> > [mm]\bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}}}[/mm] > [mm]\bruch{1}{\red{k+1}}> \bruch{1}{\red{(k+1)}*k}[/mm]
>  
> >  

> > Nicht schlagen, wenn es blödsinn ist^^
>  >  
> >  

>
> Du kannst leicht selbst überprüfen, ob das blödsinn ist,
> indem du bspweise einfach mal einen Reihenwert nimmst, z.B.
> k=8 und schaust ob die Abschätzung so funktioniert.
>  

ALso es kommt schon was kleineres raus. Aber du hast mich jetzt verunsichert.


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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:16 So 11.12.2011
Autor: Valerie20

Für k=8 bekomme ich mit deiner Abschätzung:

[mm] \bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}} > \bruch{1}{\wurzel{k+1}} [/mm] ?

[mm] \bruch{1}{\red{\wurzel{9}+\wurzel{8}}} > \bruch{1}{\wurzel{9}} [/mm]

[mm] \bruch{1}{\red{6* \wurzel{2}}} > \bruch{1}{3} [/mm]

[mm] 0,11785 > 0,33 [/mm]




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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:26 So 11.12.2011
Autor: theresetom

Ja dann ist esBlödsinn.
Also auf Anfang:

$ [mm] \bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}} [/mm] $ >
Wie würdest du die erste Abschätzung machen? Vlt. schaff ich es dann auch!

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Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 So 11.12.2011
Autor: Valerie20


> Ja dann ist esBlödsinn.
>  Also auf Anfang:
>  
> [mm]\bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}}[/mm] >
>  Wie würdest du die erste Abschätzung machen? Vlt. schaff
> ich es dann auch!

[mm]\bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}} > \bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k+1}}} = ... > ....[/mm]



Valerie


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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:41 So 11.12.2011
Autor: theresetom


[mm]\bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}} > \bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k+1}}} = \bruch{1}{\red{2*\wurzel{k+1}} }>[/mm] [mm] \bruch{1}{\red{2*(k+1)} } [/mm]

Versuchte die Abschätzung

> [mm] \bruch{1}{\red{k*(k+1)} } [/mm]

Aber die gilt ja nicht wenn k=1 ist.


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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:55 So 11.12.2011
Autor: Valerie20


>  
> [mm]\bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}} > \bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k+1}}} = \bruch{1}{\red{2*\wurzel{k+1}} }>[/mm]
> [mm]\bruch{1}{\red{2*(k+1)} }[/mm]

Die Abschätzung ist gut.

Du weist nun also dass:

[mm]\bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}} >[/mm] [mm]\bruch{1}{\red{2*(k+1)} }[/mm]

Was weist du denn über:

[mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{\red{2*(k+1)} } ?[/mm]

Forme die Summe geeignet um, sodass du eine Minorante bekommst.
Konstante nicht von k abhängige Faktoren kannst du vor die Summe ziehen.
Mache danach noch eine Indexverschiebung.




Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:27 So 11.12.2011
Autor: theresetom


> >  

> > [mm]\bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}} > \bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k+1}}} = \bruch{1}{\red{2*\wurzel{k+1}} }>[/mm]
> > [mm]\bruch{1}{\red{2*(k+1)} }[/mm]
>  
> Die Abschätzung ist gut.

Passt  

> Du weist nun also dass:
>  
> [mm]\bruch{1}{\red{\wurzel{k+1}+\wurzel{k}}} >[/mm]
> [mm]\bruch{1}{\red{2*(k+1)} }[/mm]
>  
> Was weist du denn über:
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{\red{2*(k+1)} } ?[/mm]

Hatten wir nicht in der Vorlesung.

> Forme die Summe geeignet um, sodass du eine Minorante
> bekommst.
>  Konstante nicht von k abhängige Faktoren kannst du vor
> die Summe ziehen.
>  Mache danach noch eine Indexverschiebung.

So?
[mm]1/2 * \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{\red{(k)} } [/mm]

Bezug
                                                                                                                                                        
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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 So 11.12.2011
Autor: Valerie20


> > Forme die Summe geeignet um, sodass du eine Minorante
> > bekommst.
>  >  Konstante nicht von k abhängige Faktoren kannst du vor
> > die Summe ziehen.
>  >  Mache danach noch eine Indexverschiebung.
>  So?
>  [mm]1/2 * \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{\red{(k)} }[/mm]

Der Index sollte bei k=1 beginnen.
Ansonsten passt das.

Was weist du denn jetzt über [mm]1/2 * \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\red{(k)} }[/mm] Ist die Reihe divergent oder konvergent?

Valerie


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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:43 So 11.12.2011
Autor: theresetom


> Der Index sollte bei k=1 beginnen.
>  Ansonsten passt das.

Stimmt, der hat ja vorher bei k=0 begonnen. Sry

> Was weist du denn jetzt über [mm]1/2 * \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\red{(k)} }[/mm]
> Ist die Reihe divergent oder konvergent?

In der vorlesung hatte ich die reihe jetzt nicht, aber wenn ich es ausprobiere wird die reihe größer. Also schätze ich stark auf divergent.

Hätten wird das gesamte nicht auf mittels der Teleskopreihe zeigen können?
LG

Ps.: danke für die geduld

Bezug
                                                                                                                                                                        
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Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:07 So 11.12.2011
Autor: Valerie20

[mm]1/2 * \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\red{(k)} }[/mm]
> > Also
> schätze ich stark auf divergent.

Ja, das ist die Harmonische Reihe. Diese ist divergent. Damit ist die Reihe der ursprünglichen Aufgabe auch divergent.

> Hätten wird das gesamte nicht auf mittels der
> Teleskopreihe zeigen können?
>  LG
>  

Die Frage kann ich dir leider nicht zu 100% beantworten, deshalb nur die Mitteilung.

Wenn man sich die Reihenglieder herausschreibt, stellt man fest, dass:

[mm]\sum_{k=0}^{\infty}\wurzel{k+1}-\wurzel{k})=1+\wurzel{2}-1+\wurzel{3}-\wurzel{2}+\wurzel{4}-\wurzel{3}+\wurzel{5}-\wurzel{4} Man könnte evtl. so argumentieren, dass \limes_{n\rightarrow\infty} \sum_{k=0}^{n}\wurzel{k+1}-\wurzel{k})=\wurzel{n+1} Und das dann divergent wäre.[/mm]
Aber wie gesagt unter Vorbehalt.




Bezug
                                                                                                                                                                                
Bezug
Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:34 Mo 12.12.2011
Autor: theresetom

danke, passt
Vielen liebe Grüße und schöne Woche

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