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| Aufgabe | Beweise:
Konvergiert eine Folge, dann konvergiert auch jede ihre Teilfolgen gegen denselben Grenzwert. |
Definition:
> Sei [mm] (a_n) _{n\in\IN} [/mm] Folge in A
> und [mm] (n_k)_{k\in\IN} [/mm] streng monoton wachsende Folge in [mm] \IN.
[/mm]
> Dann heißt [mm] (a_n_k) [/mm] {n [mm] \in \IN} [/mm] Teilfolge von [mm] (a_n)
[/mm]
Warum das jetzt genau eine Teilfolge ist verstehe ich nicht ganz...!Und warum muss die eine streng monoton wachsend sein? Vielleicht kann mir das wer mit einen Bsp. erklären
Also Beweiß aus meinen Buch, denn ich aber nicht 100% nachvollziehen kann.
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0, [mm] N\in \IN [/mm] so gewählt dass [mm] |a_k-a|<\varepsilon [/mm] für alle k [mm] \ge [/mm] N. Aus [mm] n_k \ge [/mm] k folgt dann auch [mm] |a_n__k [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm] für elle k [mm] \ge [/mm] N.
Kann wer etwas Licht in Sinne von erklärenden Sätzen in die sache bringen?? DANKE
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Moin,
> Beweise:
> Konvergiert eine Folge, dann konvergiert auch jede ihre
> Teilfolgen gegen denselben Grenzwert.
> Definition:
> > Sei [mm](a_n) _{n\in\IN}[/mm] Folge in A
> > und [mm](n_k)_{k\in\IN}[/mm] streng monoton wachsende Folge in [mm] \IN.
[/mm]
> > Dann heißt [mm](a_{n_k})[/mm], [mm] k\in\IN [/mm] Teilfolge von [mm](a_n)[/mm]
>
> Warum das jetzt genau eine Teilfolge ist verstehe ich nicht
> ganz...!Und warum muss die eine streng monoton wachsend
> sein?
Die Indexfolge ist monoton wachsend. Zu einer Folge [mm] (a_n) [/mm] ist zum Beispiel [mm] (a_{2n}) [/mm] die Teilfolge aller Folgenglieder von [mm] a_n [/mm] mit geradem Index. Dabei ist [mm] n_k=2k.
[/mm]
> Also Beweiß aus meinen Buch, denn ich aber nicht 100%
> nachvollziehen kann.
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] >0, [mm]N\in \IN[/mm] so gewählt dass
> [mm]|a_k-a|<\varepsilon[/mm] für alle k [mm]\ge[/mm] N. Aus [mm]n_k \ge[/mm] k folgt
> dann auch [mm]|a_n__k[/mm] - a| < [mm]\varepsilon[/mm] für elle k [mm]\ge[/mm] N.
Mach dir klar, dass [mm] n_k\geq [/mm] k daraus folgt, dass [mm] n_k [/mm] eine monoton wachsende Indexfolge in [mm] \IN [/mm] ist. Damit folgt dann obige Aussage.
LG
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Ganz habe ich es nicht verstanden...
> Definition:
> > Sei $ [mm] (a_n) __{n\in\IN} [/mm] $ Folge in A
> > und $ [mm] (n_k)__{k\in\IN} [/mm] $ streng monoton wachsende Folge in $ [mm] \IN. [/mm] $
> > Dann heißt $ [mm] (a_{n_k}) [/mm] $, $ [mm] k\in\IN [/mm] $ Teilfolge von $ [mm] (a_n) [/mm] $ß
Bsp:
[mm] (a_n)__{n\in\IN} [/mm] = [mm] a_1, a_2,a_3..
[/mm]
Teilfolge wäre z.b.: [mm] (a_{2n})__{n\in\IN} [/mm] = [mm] a_2,a_4,a_6..
[/mm]
Also bei der Teilfolge werden ja glieder von [mm] (a_n) [/mm] übersprungen und ausgelassen.
DEfinition-Beispiel:
Und was ist jetzt in dem Fall [mm] (n_k)_{k\in\IN} [/mm] ?
Und [mm] (a_{n_k}) [/mm] ist dann die Teilfolge [mm] (a_{2n})n\in\IN?
[/mm]
[mm] |a_k [/mm] -a| < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] a_k [/mm] ist ein Folgenglied von [mm] (n_k)__{k\in\IN} [/mm] oder?
Der indizes der teilfogle ist größer als der Index der gegebenen Folge ist [mm] n_k \ge [/mm] k .
Warum folgt aber aus [mm] n_k \ge [/mm] k auch [mm] |a_n__k [/mm] - a| < [mm] \varepsilon
[/mm]
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> Bsp:
> [mm](a_n)__{n\in\IN}[/mm] = [mm]a_1, a_2,a_3..[/mm]
> Teilfolge wäre z.b.:
> [mm](a_{2n})__{n\in\IN}[/mm] = [mm]a_2,a_4,a_6..[/mm]
>
> Also bei der Teilfolge werden ja glieder von [mm](a_n)[/mm]
> übersprungen und ausgelassen.
> DEfinition-Beispiel:
> Und was ist jetzt in dem Fall [mm](n_k)_{k\in\IN}[/mm] ?
> Und [mm](a_{n_k})[/mm] ist dann die Teilfolge [mm](a_{2n})n\in\IN?[/mm].
Nein, das war doch nur eine spezielle Indexfolge.
Allgemein ist die Teilfolge dann [mm] (a_{n_k}),k\in\IN=a_{n_1},a_{n_2},a_{n_3},\ldots
[/mm]
Dabei ist [mm] n_1,n_2,n_3,\ldots [/mm] aufsteigend in [mm] \IN.
[/mm]
>
> [mm]|a_k[/mm] -a| < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]a_k[/mm] ist ein Folgenglied von [mm](n_k)__{k\in\IN}[/mm] oder?
Nein.
> Der indizes der teilfogle ist größer als der Index der
> gegebenen Folge ist [mm]n_k \ge[/mm] k .
>
> Warum folgt aber aus [mm]n_k \ge[/mm] k auch [mm]|a_n__k[/mm] - a| <[mm]\varepsilon[/mm]
Versuche erstmal die Teilfolge vollständig zu verstehen, dann wird der Beweis ganz einfach.
LG
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> Also bei der Teilfolge werden ja glieder von $ [mm] (a_n) [/mm] $
> übersprungen und ausgelassen.
das stimmt doch?
Die Teilfolge wird aus der Folge [mm] (a_n) [/mm] gebildet, es werden nur nicht alle Glieder berücksichtigt nur die [mm] a_n__k [/mm] .
Was ist genau [mm] n_k? [/mm] dass ist doch der Index der Teilfolge. Aber in der Def. der teilfolge steht, dass der index selber eine Folge beschreibt...?
> un [mm] (n_k) [/mm] eine streng monoton wachsende Folge in [mm] \IN [/mm] ist
Eine teilfolge erhält man so ja durch wegstreichen einiger Folgenglieder. Die Nummerierung der Teilfolge steigt dennoch weiter an. Also eine Glied dass vorher den Index 2 hatte kann nur den selben oder einen kleineren Index bei der teilfolge haben.. Stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht hilft Dir das:
Gegeben: eine Folge [mm] (a_n)
[/mm]
Weiter ist [mm] (n_k) [/mm] eine Folge in [mm] \IN, [/mm] die streng wachsend ist, also [mm] n_1
Setzt man nun [mm] b_k:=a_{n_k} [/mm] für k [mm] \in \IN, [/mm] so nennt man [mm] (b_k) [/mm] eine Teilfolge von [mm] (a_n)
[/mm]
Der Index von [mm] (a_{n_k}) [/mm] ist nicht [mm] n_k, [/mm] sondern k.
Du schreibst:
"Eine teilfolge erhält man so ja durch wegstreichen einiger Folgenglieder. "
so ist es
Weiter sagst Du:
" Die Nummerierung der Teilfolge steigt dennoch weiter an. Also eine Glied dass vorher den Index 2 hatte kann nur den selben oder einen kleineren Index bei der teilfolge haben.. Stimmt das? "
Ja
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 Di 08.11.2011 | | Autor: | theresetom |
Hat sich erledigt danke ;))
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